조건제시법 집합의 원소

[출제의도] 집합의 성질을 활용하여 문제해결하기 집합 $A _{k}$는 전체집합 $U$의 부분집합이므로 $x$는 $20$ 이하의 자연수이고 $y - k$는 $30$의 약수이다. $y \in U$이므로 $y - k < 30$이고 $x \ne 1$ $x \in U$이므로 $x \ne 30$ $y - k$와 $x$ 사이의 관계는 아래 표와 같다.

$A _{k} \subset \left\{ 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 \right\}$ $\displaystyle \frac{30 - x}{5} \in U$에서 $30 - x$는 $5$의 배수이므로 $B = \left\{ 5 , 10 , 15 , 20 \right\}$ $\left( A _{k} \cap B ^{C} \right) \subset \left\{ 2 , 3 , 6 \right\}$ (ⅰ) $2 \in \left( A _{k} \cap B ^{C} \right)$일 때 $x = 2$, $y - k = 15$이고 $y = 15 + k \leq 20$ $k \leq 5$ (ⅱ) $3 \in \left( A _{k} \cap B ^{C} \right)$일 때 $x = 3$, $y - k = 10$이고 $y = 10 + k \leq 20$ $k \leq 10$ (ⅲ) $6 \in \left( A _{k} \cap B ^{C} \right)$일 때 $x = 6$, $y - k = 5$이고 $y = 5 + k \leq 20$ $k \leq 15$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $k \leq 5$일 때 $A _{k} \cap B ^{C} = \left\{ 2 , 3 , 6 \right\}$ $5 < k \leq 10$일 때 $A _{k} \cap B ^{C} = \left\{ 3 , 6 \right\}$ $10 < k \leq 15$일 때 $A _{k} \cap B ^{C} = \left\{ 6 \right\}$ $n \left( A _{k} \cap B ^{C} \right) = 1$이므로 $10 < k \leq 15$ 따라서 모든 자연수 $k$의 개수는 $5$