조건을 만족하는 함수의 개수

조건 (가)에서 $f \left( 1 \right)$, $f \left( 2 \right)$, $\cdots$, $f \left( 9 \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $1$, $1$, $1$, $2$, $2$, $4$, $4$, $4$, $4$를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 $\displaystyle \frac{9 !}{4 ! 3 ! 2 !} = 1260$ 조건 (나)를 만족시키지 못하는 경우는 $\left( f \left( x \right) , f \left( x + 1 \right) , f \left( x + 2 \right) \right)$가 $\left( 1 , 1 , 2 \right)$ 또는 $\left( 2 , 2 , 4 \right)$인 $x \in X$가 존재하는 경우이다. (ⅰ) $\left( 1 , 1 , 2 \right)$인 $x \in X$가 존재하는 경우 $1$, $1$, $2$를 하나의 문자 $a$로 보고 $a$, $1$, $2$, $4$, $4$, $4$, $4$를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{7 !}{4 ! 1 ! 1 ! 1 !} = 210$ (ⅱ) $\left( 2 , 2 , 4 \right)$인 $x \in X$가 존재하는 경우 $2$, $2$, $4$를 하나의 문자 $a$로 보고 $a$, $1$, $1$, $1$, $4$, $4$, $4$를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{7 !}{3 ! 3 ! 1 !} = 140$ (ⅲ) $\left( 1 , 1 , 2 \right)$인 $x \in X$와 $\left( 2 , 2 , 4 \right)$인 $y \in X$가 존재하는 경우 $1$, $1$, $2$, $2$, $4$를 하나의 문자 $a$로 보고 $a$, $1$, $4$, $4$, $4$를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{5 !}{3 ! 1 ! 1 !} = 20$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 조건을 만족시키지 못하는 경우의 수는 $210 + 140 - 20 = 330$ 따라서 구하는 경우의 수는 $1260 - 330 = 930$