조건부확률과 순열

$a _{k} \leq k$를 만족시키는 자연수 $k \left( 1 \leq k \leq 5 \right)$의 최솟값이 $\mathrm{3}$인 사건을 $A$, $a _{1} + a _{2} = a _{4} + a _{5}$인 사건을 $B$라 하자. $a _{k} \leq k$를 만족시키는 자연수 $k ( 1 \leq k \leq 5 )$의 최솟값이 $\mathrm{3}$이면, $a _{1} > 1$, $a _{2} > 2$, $a _{3} \leq 3$이다. (Ⅰ) $a _{3} = 1$이고 $a _{1} > 1$, $a _{2} > 2$일 확률은 $\displaystyle \frac{3 \times 3 \times 2 !}{5 !} = \frac{3}{20}$ (Ⅱ) $a _{3} = 2$이고 $a _{1} > 1$, $a _{2} > 2$일 확률은 $\displaystyle \frac{3 \times 2 \times 2 !}{5 !} = \frac{1}{10}$ (Ⅲ) $a _{3} = 3$이고 $a _{1} > 1$, $a _{2} > 2$일 확률은 $\displaystyle \frac{2 \times 2 \times 2 !}{5 !} = \frac{1}{15}$ (Ⅰ), (Ⅱ), (Ⅲ)에 의하여 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( A \right)} = \frac{3}{20} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{9 + 6 + 4}{60} = \frac{19}{60}$ $a _{1} + a _{2} = a _{4} + a _{5}$이면 $a _{1} + a _{2} + a _{3} + a _{4} + a _{5} = 15$에서 $a _{3} = 15 - 2 \left( a _{1} + a _{2} \right) = 2 \left\{ 7 - \left( a _{1} + a _{2} \right) \right\} + 1$ 이므로 $a _{3}$의 값은 홀수이다. (ⅰ) $a _{3} = 1$인 경우 $a _{1} + a _{2} = 7$이므로 순서쌍 $\left( a _{1} , a _{2} \right)$는 $( 2 , 5 )$, $( 3 , 4 )$, $( 4 , 3 )$ (ⅱ) $a _{3} = 3$인 경우 $a _{1} + a _{2} = 6$이므로 순서쌍 $\left( a _{1} , a _{2} \right)$는 $( 2 , 4 )$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( A \cap B \right)} = \frac{\left( 3 + 1 \right) \times 2 !}{5 !} = \frac{1}{15}$ 따라서 $\displaystyle {\mathrm{P}} \mathit{(} B | A ) = \frac{{\mathrm{P}} \mathit{(} A \cap B )}{{\mathrm{P}} \mathit{(} A )} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{19}{60}} = \frac{4}{19}$