조건 있는 다섯 자리 수

[출제의도] 같은 것이 있는 순열의 수를 이용하여 조건을 만족시키는 자연수의 개수를 구할 수 있는가? 조건 (가), (나)를 만족시키는 경우는 다음 두 가지 경우 뿐이다. (ⅰ) 홀수 1개, 짝수 4개를 택하는 경우 사용할 홀수 1개를 택하는 경우의 수는 ${} _{3} \mathrm{C} \mathit{_{1}} = 3$ 이 각각에 대하여 짝수는 3개 중에서 2개를 택하여 두 번씩 사용해야 하므로 사용할 짝수를 택하는 경우의 수는 ${} _{3} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} = 3$ 이 각각에 대하여 택한 수 5개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{5 !}{2 ! 2 !} = 30$ 따라서 이 경우의 수는 $3 \times 3 \times 30 = 270$ (ⅱ) 홀수 3개, 짝수 2개를 택하는 경우 짝수는 1개만 택하여 두 번 사용해야 하므로 사용할 짝수 1개를 택하는 경우의 수는 ${} _{3} \mathrm{C} \mathit{_{1}} = 3$ 이 각각에 대하여 택한 수 5개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{5 !}{2 !} = 60$ 따라서 이 경우의 수는 $3 \times 60 = 180$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 경우의 수는 $270 + 180 = 450$