집합 연산 조건

[출제의도] 집합의 연산 법칙을 이용하여 조건을 만족시키는 집합을 구하는 문제를 해결한다. $A ^{C} \cup B ^{C} = \left( A \cap B \right) ^{C}$이므로 $\left( A \cap B \right) ^{C} =$$\left\{ 1 , 2 , 4 \right\}$ 두 집합 $A$, $\left( A \cap B \right) ^{C}$을 벤다이어그램으로 나타내면 각각 다음 그림과 같다.

두 집합 $A$, $\left( A \cap B \right) ^{C}$의 공통인 원소는 $4$이고, 두 그림에서 공통으로 색칠된 부분이 집합 $A - B$이므로 $A - B = \left\{ 4 \right\}$이다. 또한 $A \cap B =$$A - ( A - B ) = \left\{ 3 , 5 \right\}$ $U = ( A \cap B ) \cup \left( A \cap B \right) ^{C}$$= \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 \right\}$

이때 $4 \notin B$이고, $3 {\in} B$, $5 {\in} B$이다. 조건 (나)에서 집합의 분배법칙에 의하여 $\left( A \cup X \right) - B$=$\left( A \cup X \right) \cap B ^{C}$ $= \left( A \cap B ^{C} \right) \cup \left( X \cap B ^{C} \right)$ $= \left( A - B \right) \cup \left( X - B \right)$ $= \left\{ 4 \right\} \cup \left( X - B \right)$ $4 \in ( A - B )$이므로 집합 $\left( A \cup X \right) - B$의 원소의 개수가 $1$이 되려면 집합 $X - B$가 공집합이 되거나 집합 $\left\{ 4 \right\}$가 되어야 한다. (ⅰ) $X = \left\{ 1 \right\}$, $X = \left\{ 2 \right\}$, $X = \left\{ 3 \right\}$, $X = \left\{ 5 \right\}$일 때, 집합 $X - B$는 공집합이어야 하므로 $1$, $2$, $3$, $5$ 모두 집합 $B$의 원소이어야 한다. (ⅱ) $X = \left\{ 4 \right\}$일 때, $X - B = \left\{ 4 \right\}$이므로 집합 $\left\{ 4 \right\} \cup \left( X - B \right)$는 집합 $\left\{ 4 \right\}$가 되어 조건을 만족시킨다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $B = \left\{ 1 , 2 , 3 , 5 \right\}$이다. 따라서 $B = \left\{ 1 , 2 , 3 , 5 \right\}$이므로 집합 $B$의 모든 원소의 합은 $1 + 2 + 3 + 5 = 11$이다.