공통수학2집합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

집합 연산 도식

문제

두 집합 AA, BB에 대한 세 연산 , , 을 다음과 같이 정의한다.

XX, YY, ZZ가 자연수를 원소로 갖는 집합일 때, 아래 그림에서 집합 XX의 모든 원소의 합을 ss라 하자. ss의 최솟값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 집합의 연산을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림의 연산 ∩\mathbf{\cap}에서 교집합이 {1,5}\left\{ 1 , 5 \right\}이기 위해서는 집합 ZZ가 원소 11과 55는 반드시 포함하고 원소 33과 66은 포함하지 않아야 한다. ∴ 1,5∈Z1 , 5 \in Z, 3,6∉Z3 , 6 \notin Z 그림의 연산 $$에서 Y{3,4,5,6}Y \left\{ 3 , 4 , 5 , 6 \right\}=(Y−{3,4,5,6})∪({3,4,5,6}−Y)=Z= ( Y - \left\{ 3 , 4 , 5 , 6 \right\} ) \cup ( \left\{ 3 , 4 , 5 , 6 \right\} - Y ) = Z 그런데 집합 (Y−{3,4,5,6})∪({3,4,5,6}−Y)( Y - \left\{ 3 , 4 , 5 , 6 \right\} ) \cup ( \left\{ 3 , 4 , 5 , 6 \right\} - Y )은 Y∪{3,4,5,6}Y \cup \left\{ 3 , 4 , 5 , 6 \right\}에서 Y∩{3,4,5,6}Y \cap \left\{ 3 , 4 , 5 , 6 \right\}을 제외한 집합이다. 그러므로 3,6∉Z3 , 6 \notin Z에서 3,6∈(Y∩{3,4,5,6})3 , 6 \in ( Y \cap \left\{ 3 , 4 , 5 , 6 \right\} )이다. ∴ 3,6∈Y3 , 6 \in Y 1∈Z1 \in Z이므로 1∈(Y∪{3,4,5,6})1 \in ( Y \cup \left\{ 3 , 4 , 5 , 6 \right\} )에서 1∈Y1 \in Y이다. 또, 5∈Z5 \in Z이고 5∈{3,4,5,6}5 \in \left\{ 3 , 4 , 5 , 6 \right\}이므로 5∉Y5 \notin Y이다. 따라서 1,3,6∈Y1 , 3 , 6 \in Y이고 5∉Y5 \notin Y이다. 그림의 연산 ∪\mathbf{\cup}에서 {2,3,4,7}∪X=Y\left\{ 2 , 3 , 4 , 7 \right\} \cup X = Y이므로 Y⊃{1,2,3,4,6,7}Y \supset \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 \right\}이다. 집합 YY가 이와 같이 될 수 있는 집합 XX 중에서 원소의 합이 가장 작은 것은 X={1,6}X = \left\{ 1 , 6 \right\}일 때이다. 따라서 XX의 모든 원소의 합을 ss라 하면 ss의 최솟값은 1+6=71 + 6 = 7이다. [다른 풀이] 모든 단계에서 사용된 원소가 1,2,3,4,5,6,71 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7뿐이므로 원소 1,5,61 , 5 , 6이 집합 XX의 원소가 되는지 확인해 보는 것만으로 충분하다. ⅰ) 1∈X1 \in X인 경우 : 1∈Y1 \in Y이므로 1∈Z1 \in Z가 되어 연산이 성립한다. ⅱ) 5∈X5 \in X인 경우 : 5∈Y5 \in Y이고 5∉Z5 \notin Z가 되어 5∉Z∩{1,3,5,6}5 \notin Z \cap \left\{ 1 , 3 , 5 , 6 \right\}이므로 연산이 성립하지 않는다. ⅲ) 6∈X6 \in X인 경우 : 6∈Y6 \in Y이므로 6∉Z6 \notin Z가 되어 연산이 성립한다.

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#집합의 연산#추론

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