집합 연산 보기

[출제의도] 집합의 포함 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. 두 집합 $A \cup B ^{C}$, $( A \cap B ) ^{C}$을 벤 다이어그램으로 나타내면 다음과 같다.

ㄱ. (참) 위의 벤 다이어그램이 나타내는 집합을 보면 두 집합의 합집합이 전체집합과 같음을 알 수 있다. 따라서 $U = ( A \cup B ^{C} ) \cup ( A \cap B ) ^{C}$ $= \left\{ 2 , 4 , 5 , 8 , 12 \right\} \cup \left\{ 1 , 3 , 5 , 9 \right\}$ $= \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 8 , 9 , 12 \right\}$ ㄴ. (거짓) 위의 벤 다이어그램에서 $A \cap B = ( A \cup B ^{C} ) - ( A \cap B ) ^{C}$이 성립함을 알 수 있다. 따라서 $A \cap B$$= \left\{ 2 , 4 , 5 , 8 , 12 \right\} - \left\{ 1 , 3 , 5 , 9 \right\}$$= \left\{ 2 , 4 , 8 , 12 \right\}$ ㄷ. (참) 드 모르간의 법칙에 의해 $A ^{C} \cap B$$= ( A \cup B ^{C} ) ^{C}$이므로 $A ^{C} \cap B$$= ( A \cup B ^{C} ) ^{C}$$= U - \left\{ 2 , 4 , 5 , 8 , 12 \right\}$$= \left\{ 1 , 3 , 9 \right\}$ 따라서 집합 $A ^{C} \cap B$의 원소의 개수는 $3$이다. 이상에서 ㄱ과 ㄷ이 참이다. [참고] 전체집합을 집합의 연산으로 구해보자. $( A \cup B ^{C} ) \cup ( A \cap B ) ^{C}$$= ( A \cup B ^{C} ) \cup ( A ^{C} \cup B ^{C} )$$= ( A \cup A ^{C} ) \cup ( B ^{C} \cup B ^{C} )$ $= ( A \cup A ^{C} ) \cup B ^{C}$$= U \cup B ^{C}$$= U$