집합 원소의 합

[출제의도] 집합의 연산을 이용하여 추론하기 집합 $B - A$의 모든 원소의 합을 $k$라 하자. $A \cup B ^{C} = \left( A ^{C} \cap B \right) ^{C} = \left( B - A \right) ^{C}$이고 조건 (가)에서 집합 $A \cup B ^{C}$의 모든 원소의 합은 $6 k$이므로 전체집합 $U$의 모든 원소의 합은 $7 k$이다. $7 k = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63$, $k = 9$ 집합 $B - A$의 모든 원소의 합이 $9$이므로 $B - A = \left\{ 1 , 8 \right\}$ $A \cap \left( B - A \right) = \emptyset$이므로 $A \subset \left( B - A \right) ^{C} = \left\{ 2 , 4 , 16 , 32 \right\}$ $A \cup B = A \cup \left( B - A \right)$ $n \left( A \cup B \right) = n \left( A \right) + n \left( B - A \right)$ 이고 조건 (나)에서 $n \left( A \cup B \right) = 5$이므로 $n \left( A \right) = 3$ 따라서 집합 $A$의 모든 원소의 합의 최솟값은 $A = \left\{ 2 , 4 , 16 \right\}$일 때 $2 + 4 + 16 = 22$