집합 원소 합 최소

[출제의도] 집합의 연산을 이용하여 추론하기 $A - X \subset A$, $B - X \subset B$이고 조건 (나)에서 $A - X = B - X$이므로 $A - X$$= B - X$$\subset A \cap B$$= \left\{ 3 , 4 , 5 \right\}$ $A - X \subset \left\{ 3 , 4 , 5 \right\}$에서 $\left\{ 1 , 2 \right\} \subset X$이고 $B - X \subset \left\{ 3 , 4 , 5 \right\}$에서 $\left\{ 6 , 7 \right\} \subset X$이므로 $\left\{ 1 , 2 , 6 , 7 \right\} \subset X$ $\cdots$㉠ 조건 (다)에서 $\left( X - A \right) \cap \left( X - B \right)$$= \left( X \cap A ^{\mathrm{C}} \right) \cap \left( X \cap B ^{\mathrm{C}} \right)$ $= X \cap \left( A ^{\mathrm{C}} \cap B ^{\mathrm{C}} \right)$ $= X \cap \left( A \cup B \right) ^{\mathrm{C}}$ $= X \cap \left\{ 8 , 9 , 10 \right\} \ne \emptyset$ $\cdots$㉡ 조건 (가)에서 $n \left( X \right) = 6$이고 ㉠에 의하여 $n \left( X \cap \left\{ 3 , 4 , 5 , 8 , 9 , 10 \right\} \right) = 2$ $\cdots$㉢ ㉡에 의하여 세 원소 $8 , 9 , 10$ 중 적어도 하나의 원소는 집합 $X$에 속해야 한다. 집합 $X$의 모든 원소의 합이 최소이려면 $8 \in X$이고 ㉢에 의하여 다섯 원소 $3 , 4 , 5 , 9 , 10$ 중 가장 작은 원소는 집합 $X$에 속해야 하므로 $3 \in X$ 따라서 $X = \left\{ 1 , 2 , 3 , 6 , 7 , 8 \right\}$일 때 모든 원소의 합이 최소이고 집합 $X$의 모든 원소의 합의 최솟값은 $1 + 2 + 3 + 6 + 7 + 8$$= 27$