집합 원소 합

[출제의도] 집합의 연산 법칙을 이용하여 조건을 만족시키는 집합을 추론한다. 드모르간의 법칙에 의하여 ${A \cup B ^{C}}$${= \left( A ^{C} \cap B \right) ^{C}}$${= \left( B - A \right) ^{C}}$이므로 조건 (가)에서 ${n \left( A \cup B ^{C} \right)}$${= n \left( \left( B - A \right) ^{C} \right)}$${= 7}$ ${B - A = \left\{ 4 , 7 \right\}}$에서 ${n \left( B - A \right) = 2}$ ${\left( B - A \right) \cup \left( B - A \right) ^{C} = U}$, ${\left( B - A \right) \cap \left( B - A \right) ^{C} = \emptyset}$ 이므로 ${n ( U )}$${= n \left( B - A \right) + n \left( \left( B - A \right) ^{C} \right)}$ ${= n \left( B - A \right) + n \left( A \cup B ^{C} \right)}$ ${= 2 + 7}$${= 9}$ 그러므로 ${k = 9}$이고 ${U = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 \right\}}$ 조건 (가)에서 ${B - A = \left\{ 4 , 7 \right\}}$이고 조건 (나)에서 집합 ${A}$의 모든 원소의 합과 집합 ${B}$의 모든 원소의 합이 서로 같으므로 집합 ${A - B}$의 모든 원소의 합은 집합 ${B - A = \left\{ 4 , 7 \right\}}$의 모든 원소의 합인 ${11}$이다. 따라서 ${m}$은 ${4}$와 ${7}$ 중 어느 수도 약수로 갖지 않고, 모든 약수의 합이 ${11}$ 이상이어야 하므로 ${m}$이 될 수 있는 수는 ${6}$ 또는 ${9}$이다. (ⅰ) ${m = 6}$일 때 집합 ${A}$는 ${\left\{ 1 , 2 , 3 , 6 \right\}}$이다. 이때 ${A - B = \left\{ 2 , 3 , 6 \right\}}$이면 집합 ${A - B}$의 원소의 합이 ${11}$이므로 조건을 만족시킨다. (ⅱ) ${m = 9}$일 때 집합 ${A}$는 ${\left\{ 1 , 3 , 9 \right\}}$이다. 이때 집합 ${A - B}$의 원소의 합이 ${11}$인 경우는 존재하지 않으므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅰ), (ⅱ)에서 ${m = 6}$이고 이때 ${B = \left\{ 1 , 4 , 7 \right\}}$이다. 즉, ${A {\cup} B}$${= \left\{ 1 , 2 , 3 , 6 \right\} {\cup} \left\{ 1 , 4 , 7 \right\}}$${= \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 \right\}}$

${A ^{C} \cap B ^{C}}$${= \left( A \cup B \right) ^{C}}$${= \left\{ 5 , 8 , 9 \right\}}$이므로 집합 ${A ^{C} \cap B ^{C}}$의 모든 원소의 합은 ${5 + 8 + 9}$${= 22}$