공통수학2집합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

집합 원소 개수 최대최소

문제

어느 학급 전체 학생 3030명 중 지역 A\mathrm{A}를 방문한 학생이 1717명, 지역 B\mathrm{B}를 방문한 학생이 1515명이라 하자. 이 학급 학생 중에서 지역 A\mathrm{A}와 지역 B\mathrm{B} 중 어느 한 지역만 방문한 학생의 수의 최댓값을 MM, 최솟값을 mm이라 할 때, MmM m의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 집합의 연산 문제 해결하기 지역 $$A\mathrm{A}를 방문한 학생의 집합을 AA, 지역 $$B\mathrm{B}를 방문한 학생의 집합을 BB라 하자. 지역 A\mathrm{A}와 지역 B\mathrm{B}를 모두 방문한 학생의 수 n(A∩B)n \left( A \cap B \right)를 xx라 하고 각 영역에 속하는 원소의 개수를 벤다이어그램에 나타내면 아래 그림과 같다.

17−x17 - x 15−x15 - x

각 영역에 속하는 원소의 개수는 00이상의 정수이므로 x≥0x \geq 0, x−2≥0x - 2 \geq 0, 15−x≥015 - x \geq 0, 17−x≥017 - x \geq 0이다. 따라서 2≤x≤152 \leq x \leq 15이다. 한편 n((A−B)∪(B−A))=32−2xn ( \left( A - B \right) \cup \left( B - A \right) ) = 32 - 2 x이고 2≤32−2x≤282 \leq 32 - 2 x \leq 28 이므로 M=28M = 28, m=2m = 2이고 Mm=56M m = 56이다.

태그

#원소의 개수#대칭차집합

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