집합 원소 개수 보기

[출제의도] 집합의 연산을 이용하여 추론하기 ㄱ. $n ( A \cap B \cap C ) = 0$이면 $n ( B \cap C ) = 2$에서 $n \left( A ^{C} \cap B \cap C \right) = 2$ $n ( B - A ) \geq n \left( A ^{C} \cap B \cap C \right) = 2$이므로 $n ( B - A ) = 1$을 만족시키지 않는다. 그러므로 $n ( A \cap B \cap C ) \neq 0$ (참) ㄴ. $n ( A \cap B \cap C ) = 2$이면 $n ( B \cap C ) = n ( A \cap B \cap C ) + n \left( A ^{C} \cap B \cap C \right) = 2$ 이므로 $n \left( A ^{C} \cap B \cap C \right) = 0$ $n ( B - A ) = n \left( A ^{C} \cap B \cap C \right) + n \left( A ^{C} \cap B \cap C ^{C} \right) = 1$ 이므로 $n \left( A ^{C} \cap B \cap C ^{C} \right) = 1$ $n ( C - A ) = n \left( A ^{C} \cap B \cap C \right) + n \left( A ^{C} \cap B ^{C} \cap C \right) = 2$ 이므로 $n \left( A ^{C} \cap B ^{C} \cap C \right) = 2$ $n ( A \cap B \cap C ) + n \left( A ^{C} \cap B \cap C ^{C} \right)$$+ n \left( A ^{C} \cap B ^{C} \cap C \right) = 5 = n \left( U \right)$ 그러므로 $n ( C ) = n ( A \cap B \cap C )$$+ n \left( A ^{C} \cap B ^{C} \cap C \right) = 4$ (참) ㄷ. $n ( B \cap C ) = 2$이므로 ㄱ에 의하여 $n ( A \cap B \cap C ) = 1$ 또는 $n ( A \cap B \cap C ) = 2$ (ⅰ) $n ( A \cap B \cap C ) = 2$일 때 ㄴ에 의하여 $n ( A ) = n ( A \cap B \cap C ) = 2$ $n ( B ) = n ( A \cap B \cap C ) + n \left( A ^{C} \cap B \cap C ^{C} \right) = 3$ $n ( A ) \times n ( B ) \times n ( C ) = 2 \times 3 \times 4 = 24$ (ⅱ) $n ( A \cap B \cap C ) = 1$일 때 $n ( B \cap C ) = 2$에서 $n \left( A ^{C} \cap B \cap C \right) = 1$ $n ( B - A ) = 1$에서 $n \left( A ^{C} \cap B \cap C ^{C} \right) = 0$ $n ( C - A ) = 2$에서 $n \left( A ^{C} \cap B ^{C} \cap C \right) = 1$ 각 집합의 원소의 개수를 표현하면 그림과 같다.

$n ( A ) = a + b + c + 1$, $n ( B ) = b + 2$, $n ( C ) = c + 3$ 이고 $a + b + c + d = 2$이다. $n ( A ) \times n ( B ) \times n ( C )$의 값이 최소가 되기 위해서는 $a = b = c = 0$, $d = 2$ 이때 $n ( A ) \times n ( B ) \times n ( C ) = 1 \times 2 \times 3 = 6$ $n ( A ) \times n ( B ) \times n ( C )$의 값이 최대가 되기 위해서는 $a = d = 0$, $b + c = 2$ (a) $b = 2$, $c = 0$일 때 $n ( A ) \times n ( B ) \times n ( C ) = 3 \times 4 \times 3 = 36$ (b) $b = 1$, $c = 1$일 때 $n ( A ) \times n ( B ) \times n ( C ) = 3 \times 3 \times 4 = 36$ (c) $b = 0$, $c = 2$일 때 $n ( A ) \times n ( B ) \times n ( C ) = 3 \times 2 \times 5 = 30$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $n ( A ) \times n ( B ) \times n ( C )$의 최댓값은 $\mathrm{36}$, 최솟값은 $\mathrm{6}$ 그러므로 $n ( A ) \times n ( B ) \times n ( C )$의 최댓값과 최솟값의 합은 $\mathrm{42}$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ