중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

직사각형 속 마름모

문제

그림과 같이 AB‾=12\displaystyle {\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}}}} = 1 2, BC‾=16\displaystyle {\overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}}}} = 1 6 인 직사각형 ABCD{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{D}}의 두 변 AD‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{D}}}}와 BC‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}}}}위에 두 점 E{\mathrm{E}}와 F{\mathrm{F}}가 각각 있다. 사각형 AFCE{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{F}} \mathit{\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{E}}가 마름모일 때, EF‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{F}}}}의 길이를 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 다양한 도형의 성질을 이용하여 도형문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

△ABC\triangle {\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}}에서 AC‾=162+122=400=20\displaystyle {\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{C}}}} = \sqrt{1 6 ^{2} + 1 2 ^{2}} = \sqrt{4 0 0} = 2 0이고 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분 하므로 AG‾=10\displaystyle {\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{G}}}} = 1 0이다. △ABC∽△FGC\triangle {\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}} \mathit{\backsim} \triangle {\mathrm{F}} \mathit{\mathrm{G}} \mathit{\mathrm{C}} (AA{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{A}}닮음)이므로 AB‾:BC‾=FG‾:GC‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}}}} : {\overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}}}} = {\overline{{\mathrm{F}} \mathit{\mathrm{G}}}} : {\overline{{\mathrm{G}} \mathit{\mathrm{C}}}}이다. 따라서 FG‾=AB‾×GC‾BC‾=12×1016=152\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}} \mathit{\mathrm{G}}}} = \frac{{\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}}}} \times {\overline{{\mathrm{G}} \mathit{\mathrm{C}}}}}{{\overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}}}}} = \frac{1 2 \times 1 0}{1 6} = \frac{1 5}{2}이다. ∴EF‾=2FG‾=15\displaystyle \therefore {\overline{{\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{F}}}} = 2 {\overline{{\mathrm{F}} \mathit{\mathrm{G}}}} = 1 5 (다른 풀이) AF‾=FC‾=CE‾=EA‾=x\displaystyle {\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{F}}}} = {\overline{{\mathrm{F}} \mathit{\mathrm{C}}}} = {\overline{{\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{E}}}} = {\overline{{\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{A}}}} = x라 하자. BF‾=16−x\displaystyle {\overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{F}}}} = 1 6 - x이다. △ABF\triangle {\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{F}}에서 (16−x)2+122=x2( 1 6 - x ) ^{2} + 1 2 ^{2} = x ^{2}이므로 x=252\displaystyle x = \frac{2 5}{2}이다. 한편 AC‾=162+122=400=20\displaystyle {\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{C}}}} = \sqrt{1 6 ^{2} + 1 2 ^{2}} = \sqrt{4 0 0} = 2 0이고 AC‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{C}}}}와 EF‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{F}}}}의 교점을 G라 하면 ∠AGE=90∘\angle {\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{G}} \mathit{\mathrm{E}} \mathit{=} 90 ^\circ이다. 따라서 △AFG\triangle {\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{F}} \mathit{\mathrm{G}}에서 (FG‾)2+102=(252)2\displaystyle ( {\overline{{\mathrm{F}} \mathit{\mathrm{G}}}} ) ^{2} + 1 0 ^{2} = \left( \frac{2 5}{2} \right) ^{2}이므로 FG‾=152\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}} \mathit{\mathrm{G}}}} = \frac{1 5}{2}이다. ∴EF‾=2FG‾=15\displaystyle \therefore {\overline{{\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{F}}}} = 2 {\overline{{\mathrm{F}} \mathit{\mathrm{G}}}} = 1 5

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#피타고라스 정리#마름모

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