중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

직사각형 속 닮음 넓이

문제

그림과 같은 직사각형 ABCD\mathrm{ABCD}에서 AD‾,CD‾\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} , \overline{CD}의 중점을 각각 M\mathrm{M}, N\mathrm{N}이라 하고, BM‾,BN‾\displaystyle \mathrm{\overline{BM}} , \overline{BN}과 AC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}}의 교점을 각각 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}라 한다. 사각형 MPQN\mathrm{MPQN}의 넓이가 30cm230 \mathrm{cm} ^{2}일 때, 삼각형 PBQ\mathrm{PBQ}의 넓이는? [4점]

①24cm224 \mathrm{cm} ^{2}②25cm225 \mathrm{cm} ^{2}③28cm228 \mathrm{cm} ^{2}④30cm230 \mathrm{cm} ^{2}⑤36cm236 \mathrm{cm} ^{2}

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①

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해설

[출제의도] 삼각형의 닮음을 이용하여 다각형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 점 P\mathrm{P}와 점 Q\mathrm{Q}가 각각 △ABD,△DBC\triangle \mathrm{ABD} , \triangle DBC의 무게중심이므로 BP‾:PM‾=BQ‾:QN‾=2:1\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} : \overline{PM} = \overline{BQ} : \overline{QN} = 2 : 1이고 PQ‾//MN‾\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} / / \overline{MN}이다. △PBQ\triangle \mathrm{PBQ}와 △MBN\triangle \mathrm{MBN}의 닮음비가 2:32 : 3이므로 △PBQ:△MBN=4:9\triangle \mathrm{PBQ} : \triangle MBN = 4 : 9이다. 따라서, △PBQ:□MPQN=4:5\triangle \mathrm{PBQ} : \square MPQN = 4 : 5이므로 △PBQ:30=4:5\triangle \mathrm{PBQ} : 30 = 4 : 5 ∴ △PBQ=24(cm2)\triangle \mathrm{PBQ} = 24 ( cm ^{2} )

태그

#닮음#넓이비#중학

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