중학중학 미분류수능 기출기본 문제 (3점 중반)

직각삼각형 중점과 변의 비

문제

그림과 같이 ∠A=90∘\angle \mathrm{A} = 90 ^\circ인 직각삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 변 BC\mathrm{BC}의 중점을 M\mathrm{M}이라 하자. ∠AMC=60∘\angle \mathrm{AMC} = 60 ^\circ일 때, AB‾AC‾\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{AC}}}의 값은? [3점]

①233\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{3}②2\displaystyle \sqrt{2}③3\displaystyle \sqrt{3}④22⑤322\displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{2}

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③

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해설

[출제의도] 삼각비의 값을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다. 점 M\mathrm{M}은 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 외접원의 중심이다. 따라서 AM‾=CM‾\displaystyle \overline{\mathrm{AM}} = \overline{\mathrm{CM}}이고 ∠AMC=60∘\angle \mathrm{AMC} = 60 ^\circ이므로 △AMC\triangle \mathrm{AMC}는 정삼각형이다. 삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 ∠C=60∘\mathrm{\angle} C = 60 ^\circ이므로 AB‾AC‾=tan⁡60∘=3\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{AC}}} = \tan 60 ^\circ = \sqrt{3}

[다른풀이] 점 M\mathrm{M}은 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 외접원의 중심이다. 따라서 AM‾=CM‾\displaystyle \overline{\mathrm{AM}} = \overline{\mathrm{CM}}이고 ∠AMC=60∘\angle \mathrm{AMC} = 60 ^\circ이므로 삼각형 AMC\mathrm{AMC}는 정삼각형이다. 삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 AC‾=a\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = a라 하면 BC‾=2a\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = 2 a이므로 피타고라스의 정리에 의해 AB‾=4a2−a2=3a2=3a\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{4 a ^{2} - a ^{2}} = \sqrt{3 a ^{2}} = \sqrt{3} a ∴AB‾AC‾=3aa=3\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{AC}}} = \frac{\sqrt{3} a}{a} = \sqrt{3}

태그

#직각삼각형 외심#피타고라스 정리#중학

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