직각이등변삼각형 꼭짓점

i) $a = 0$일 때, 직선 $l$의 방정식은 $\displaystyle x = \frac{3}{2}$

$\displaystyle {\overline{\mathrm{OC}}} = \frac{3}{2} \sqrt{2}$ ii) $a \ne 0$일 때, $\angle {\mathrm{AOB}} = \angle {\mathrm{ACB}} = 90 ^\circ$이므로 네 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{O}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$가 한 원 위에 있고, 선분 $\mathrm{AB}$는 이 원의 지름이다. 이 원의 방정식은 $\displaystyle \left( x - \frac{3}{2} \right) ^{2} + \left( y - \frac{a}{2} \right) ^{2} = \frac{a ^{2} + 9}{4}$ $\cdots \text{㉠}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = {\overline{\mathrm{BC}}}$이므로 점 $\mathrm{C}$는 선분 $\mathrm{AB}$의 수직이등분선 $l$과 원이 만나는 점이다. 직선 $l$의 방정식은 $\displaystyle y - \frac{a}{2} = \frac{3}{a} \left( x - \frac{3}{2} \right)$ $\cdots \text{㉡}$ $\text{㉠}$, $\text{㉡}$에 의해 $\displaystyle \left( x - \frac{3}{2} \right) ^{2} + \frac{9}{a ^{2}} \left( x - \frac{3}{2} \right) ^{2} = \frac{a ^{2} + 9}{4}$ $\displaystyle \left( x - \frac{3}{2} \right) ^{2} = \frac{a ^{2}}{4}$ $\displaystyle x = \frac{3 + a}{2}$ 또는 $\displaystyle x = \frac{3 - a}{2}$ $\text{㉡}$에 대입하면 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\displaystyle {\mathrm{C}} \left( \frac{3 + a}{2} , \frac{3 + a}{2} \right)$ 또는 $\displaystyle \mathrm{C} \mathit{\left( \frac{3 - a}{2} , - \frac{3 - a}{2} \right)}$

① $\displaystyle {\mathrm{C}} \left( \frac{3 + a}{2} , \frac{3 + a}{2} \right)$일 경우 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OC}}} = \sqrt{\left( \frac{3 + a}{2} \right) ^{2} + \left( \frac{3 + a}{2} \right) ^{2}} = \sqrt{2} \left| \frac{3 + a}{2} \right|$ $- 1 \leq a \leq 2$($a \ne 0$)이므로 $\displaystyle \sqrt{2} \leq {\overline{\mathrm{OC}}} < \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 또는 $\displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{2} < {\overline{\mathrm{OC}}} \leq \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ ② $\displaystyle \mathrm{C} \mathit{\left( \frac{3 - a}{2} , - \frac{3 - a}{2} \right)}$일 경우 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OC}}} = \sqrt{\left( \frac{3 - a}{2} \right) ^{2} + \left( - \frac{3 - a}{2} \right) ^{2}} = \sqrt{2} \left| \frac{3 - a}{2} \right|$ $- 1 \leq a \leq 2$($a \ne 0$)이므로 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \leq {\overline{\mathrm{OC}}} < \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 또는 $\displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{2} < {\overline{\mathrm{OC}}} \leq 2 \sqrt{2}$ i), ii)에 의해 $\displaystyle M = \frac{5}{2} \sqrt{2}$, $\displaystyle m = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 따라서 $\displaystyle \frac{M}{m} = 5$