직각이등변 외접원 보기

[출제의도] 원의 접선과 현, 접선과 할선의 성질을 이용하여 성립하는 내용을 추측한다.

ㄱ. $\angle \mathrm{CA} P = \angle \mathrm{BCP}$이므로 접선과 현이 이루는 각에 대한 성질에 의하여 직선 $\mathrm{BC}$는 삼각형 $\mathrm{APC}$의 외접원에 접한다. (참) ㄴ. 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 $\displaystyle \mathrm{\overline{\mathrm{BC}}} = 2$인 직각이등변삼각형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BA}}} = \sqrt{2}$ 직선 $\mathrm{BC}$는 삼각형 $\mathrm{APC}$의 외접원에 접하므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} ^{2} = {\overline{BA}} \times {\overline{BD}}$ $\displaystyle 2 ^{2} = \sqrt{2} \times {\overline{\mathrm{BD}}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} = 2 \sqrt{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = {\overline{BD}} - {\overline{BA}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$ (참) ㄷ. $\angle \mathrm{CAB} = 90 ^\circ$이므로 $\angle \mathrm{DAC} = 180 ^\circ - \angle \mathrm{CAB} = 90 ^\circ$이고, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = \sqrt{2}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} ^{2} + {\overline{AD}} ^{2} = {\overline{CD}} ^{2}$ 따라서 선분 $\mathrm{CD}$는 삼각형 $\mathrm{APC}$의 외접원의 지름이고, 그 길이는 $2$이므로 삼각형 $\mathrm{APC}$의 외접원의 반지름의 길이는 $1$(참)