접은 직사각형 내접원

[출제의도] 피타고라스의 정리를 이해하고 직각삼각형의 내접원의 넓이를 구한다. 점 $\mathrm{E}$는 점 $\mathrm{C}$가 이동한 점이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BE}} = {\overline{BC}} = 15$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 12$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BE}} = 15$인 삼각형 $\mathrm{ABE}$는 직각삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{A E}} = \sqrt{15 ^{2} - 12 ^{2}} = 9$

직각삼각형 $\mathrm{ABE}$에 내접하는 원에 대하여 내접원의 중심을 $\mathrm{O}$, 직각삼각형 $\mathrm{ABE}$와 내접원의 접점을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$, 내접원의 반지름을 $r$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} = {\overline{OQ}} = {\overline{OR}} = \mathit{r}$이다. ⅰ) (직각삼각형 $\mathrm{ABE}$의 넓이)$= \triangle \mathrm{ABO} + \triangle \mathrm{BEO} + \triangle \mathrm{EAO}$ $\displaystyle = \frac{r}{2} \mathrm{(} {\overline{AB}} + {\overline{BE}} + {\overline{EA}} )$$\displaystyle = \frac{r}{2} ( 12 + 9 + 15 )$$= 18 r$ ⅱ) (직각삼각형 $\mathrm{ABE}$의 넓이)$\displaystyle = \frac{1}{2} \mathrm{\times} {\overline{AB}} \times {\overline{AE}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 12 \times 9 = 54$ 그런데 ⅰ), ⅱ)에서 구한 삼각형의 넓이는 서로 같아야 하므로 $18 r = 54$ 즉, $r = 3$ 따라서 구하는 넓이는 $\pi \times 3 ^{2} = 9 \pi$