전승·전패 팀 확률

네 팀이 짝지어서 경기를 치르게 되는 경우는 $\mathrm{(} A , B ) , ( A , C ) , ( A , D ) , ( B , C ) , ( B , D ) , ( C , D )$의 $6$(가지) (ⅰ) 전승팀이 존재할 확률 : $\mathrm{A}$가 전승팀이 될 확률은$\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times 1 = \frac{1}{8}$이고, 네 팀이므로 전승팀이 존재할 확률은 $\displaystyle \frac{1}{8} \times 4 = \frac{1}{2}$ (ⅱ) 전패팀이 존재할 확률 : $\displaystyle \frac{1}{2}$ (ⅲ) (전승,전패)가 동시에 존재할 확률 : $\mathrm{(} A , B )$가 (전승,전패)일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{32}$이므로 (전승,전패)가 동시에 존재할 확률은 $\displaystyle \frac{1}{32} \times _{4} \mathrm{C} _{2} \times 2 = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}$ 따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ $\therefore m + n = 8 + 5 = 13$