정육각형 종이 접기

[출제의도] 도형의 성질과 삼각비를 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

그림에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{B' E'}}$과 $\displaystyle \mathrm{\overline{XH}}$가 만나는 점을 $\mathrm{I}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{NX}} \parallel {\overline{EI}}$이므로 사각형 $\mathrm{N} \Xi E$는 사다리꼴이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{B' E'}} \parallel {\overline{M' N'}}$이므로 $\mathrm{\angle} G \Xi = \angle GIX = 45 ^\circ$ $\mathrm{\triangle} G \Xi$는 $\displaystyle \mathrm{\overline{GX}} = {\overline{GI}}$인 이등변삼각형이다. $\displaystyle \mathrm{2} {\overline{GX}} = {\overline{GY}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{GY}} = 2 \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{GX}} = {\overline{GI}} = \sqrt{3}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{IE}} = {\overline{IE'}} = {\overline{G E'}} - {\overline{GI}} = 4 - \sqrt{3}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{M' N'}} = \frac{1}{2} \times \left( {\overline{B' E'}} + {\overline{AF}} \right)$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{M' N'}} = 6$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{NX}} = {\overline{N' X}} = \frac{1}{2} {\overline{M' N'}} = 3$이므로 사다리꼴 $\mathrm{N} \Xi E$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left\{ 3 + \left( 4 - \sqrt{3} \right) \right\} \times \sqrt{3}$$\displaystyle = \frac{- 3 + 7 \sqrt{3}}{2}$ …… ㉠ $\mathrm{\angle} EIE' = 90 ^\circ$이므로 $\mathrm{\angle} EIH = 45 ^\circ$이다. 점 $\mathrm{H}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{EI}}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{J}$라 하면 $\mathrm{\angle} HE' I = \angle HEJ = 60 ^\circ$ $\displaystyle {\mathrm{\overline{HJ}}} = h$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{EJ}}$$\displaystyle = \frac{h}{\tan 60 ^\circ}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{JI}}$$\displaystyle = \frac{h}{\tan 45 ^\circ}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{EI}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{EJ}} + \mathrm{\overline{JI}}$$\displaystyle = 4 - \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle h \times \left( \frac{1}{\tan 60 ^\circ} + \frac{1}{\tan 45 ^\circ} \right) = 4 - \sqrt{3}$ $\displaystyle h = \frac{15 - 7 \sqrt{3}}{2}$ 삼각형 $\mathrm{EIH}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( 4 - \sqrt{3} \right) \times \left( \frac{15 - 7 \sqrt{3}}{2} \right)$$\displaystyle = \frac{81 - 43 \sqrt{3}}{4}$ …… ㉡ ㉠, ㉡에서 구하는 넓이는 $\displaystyle 2 \times \left\{ \left( \frac{- 3 + 7 \sqrt{3}}{2} \right) + \left( \frac{81 - 43 \sqrt{3}}{4} \right) \right\}$$\displaystyle = \frac{75}{2} - \frac{29}{2} \sqrt{3}$ $\displaystyle a = \frac{75}{2}$, $\displaystyle b = \mathit{-} \frac{29}{2}$ 이므로 $a + b$$\displaystyle = \frac{75}{2} + \left( - \frac{29}{2} \right) = 23$ [다른 풀이]

그림에서 두 사각형 $\mathrm{XNEH}$와 $\mathrm{XN}' E' H$는 합동이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{FE}'}}$의 연장선과 $\displaystyle {\overline{\mathrm{M}' N'}}$의 연장선이 만나는 점을 $\mathrm{P}$라 하면 삼각형 $\mathrm{E}' N' P$는 한 변의 길이가 $2$인 정삼각형이고 그 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{3}$$\displaystyle = \sqrt{3}$이다.

점 $\mathrm{H}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{XP}}}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{Q}$라 하고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QP}}} = x$라 하자. 직각삼각형 $\mathrm{HQP}$에서 $\mathrm{\angle} HPQ = 60 ^\circ$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{HQ}}} = \sqrt{3} x$ 직각삼각형 $\mathrm{HXQ}$에서 $\mathrm{\angle} HXQ = 45 ^\circ$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{XQ}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{HQ}}} = \sqrt{3} x$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{XP}}} \mathit{=} {\overline{\mathrm{XQ}}} \mathit{+} {\overline{\mathrm{QP}}}$$\displaystyle = x + \sqrt{3} x$$= 5$이므로 $\displaystyle x = \frac{5}{\sqrt{3} + 1}$$\displaystyle = \frac{5 \left( \sqrt{3} - 1 \right)}{2}$ 삼각형 $\mathrm{HXP}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{XP}}} \times {\overline{\mathrm{HQ}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 5 \times \sqrt{3} x$ $\displaystyle = \frac{5 \sqrt{3}}{2} x$ $\displaystyle = \frac{5 \sqrt{3}}{2} \times \frac{5 \left( \sqrt{3} - 1 \right)}{2}$ $\displaystyle = \frac{75 - 25 \sqrt{3}}{4}$ 사각형 $\mathrm{XN}' E' H$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{HXP}$의 넓이에서 삼각형 $\mathrm{E}' N' P$의 넓이를 뺀 것과 같으므로 $\displaystyle \frac{75 - 25 \sqrt{3}}{4} - \sqrt{3}$$\displaystyle = \frac{75 - 29 \sqrt{3}}{4}$ 그러므로 구하는 도형의 넓이는 $\displaystyle 2 \times \frac{75 - 29 \sqrt{3}}{4}$$\displaystyle = \frac{75}{2} - \frac{29}{2} \sqrt{3}$ 따라서 $\displaystyle a = \frac{75}{2}$, $\displaystyle b = \mathit{-} \frac{29}{2}$이므로 $a + b = 23$ [다른 풀이]

그림에서 두 사각형 $\mathrm{XNEH}$와 $\mathrm{XN}' E' H$는 합동이다. 점 $\mathrm{E}'$을 지나고 직선 $\mathrm{XN}$에 평행한 직선이 $\displaystyle \mathrm{\overline{XN'}}$의 연장선과 만나는 점을 $\mathrm{R}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{XH}}$의 연장선과 만나는 점을 $\mathrm{S}$라 하자. 직각삼각형 $\mathrm{XRS}$에서 $\angle \mathrm{SXR} = 45 ^\circ$, $\displaystyle \mathrm{\overline{XR}} = 4$이므로 삼각형 $\mathrm{XRS}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \times 4$$= 8$ 직각삼각형 $\mathrm{N}' RE'$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{N' R}} = {\overline{XR}} - {\overline{XN'}} = 4 - 3 = 1$, $\displaystyle \mathrm{\overline{RE'}} = \sqrt{3}$이므로 삼각형 $\mathrm{N}' RE'$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 1 \times \sqrt{3}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 삼각형 $\mathrm{HE}' S$에서 $\angle \mathrm{HSE}' = 45 ^\circ$, $\angle \mathrm{HE}' S = 30 ^\circ$이므로 $\angle \mathrm{SHE}' = 105 ^\circ$이다. 삼각형 $\mathrm{HE}' S$를 그리면 다음과 같다.

점 $\mathrm{H}$에서 변 $\mathrm{SE}'$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{T}$라 하고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{ST}}} = x$라 하자. 직각삼각형 $\mathrm{SHT}$에서 $\mathrm{\angle} HST = 45 ^\circ$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{HT}}} = x$ 직각삼각형 $\mathrm{HE}' T$에서 $\angle \mathrm{HE}' T = 30 ^\circ$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{E}' T}} = \sqrt{3} x$ 한편 $\displaystyle {\overline{\mathrm{SE}'}} \mathit{=} \mathrm{\overline{SR}} - {\overline{RE'}} = 4 - \sqrt{3}$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{SE}'}} \mathit{=} {\overline{\mathrm{ST}}} \mathit{+} {\overline{\mathrm{TE}'}}$$\displaystyle = x + \sqrt{3} x$이므로 $\displaystyle x + \sqrt{3} x = 4 - \sqrt{3}$ $\displaystyle x = \frac{4 - \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}$$\displaystyle = \frac{5 \sqrt{3} - 7}{2}$ 삼각형 $\mathrm{HE}' S$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{SE}'}} \times {\overline{\mathrm{HT}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( 4 - \sqrt{3} \right) \times \frac{5 \sqrt{3} - 7}{2}$$\displaystyle = \frac{27 \sqrt{3} - 43}{4}$ 사각형 $\mathrm{XN}' E' H$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{XRS}$의 넓이에서 두 삼각형 $\mathrm{N}' RE'$과 $\mathrm{HE}' S$의 넓이를 뺀 것과 같다. $\mathrm{XN}' E' H$의 넓이는 $\displaystyle 8 - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{27 \sqrt{3} - 43}{4} \right)$$\displaystyle = \frac{75 - 29 \sqrt{3}}{4}$ 그러므로 구하는 도형의 넓이는 $\displaystyle 2 \times \frac{75 - 29 \sqrt{3}}{4}$$\displaystyle = \frac{75}{2} - \frac{29}{2} \sqrt{3}$ 따라서 $\displaystyle a = \frac{75}{2}$, $\displaystyle b = \mathit{-} \frac{29}{2}$이므로 $a + b = 23$