정육각형 점 확률 급수

[출제의도] 확률 추론하기 ⅰ) $n = 1$인 경우 : $p _{1} = 1$ ⅱ) $n = 2$인 경우 : $p _{2} = 1$ ⅲ) $n \geq 3$인 경우 남아있는 점이 4개 이상이면 원의 지름을 만들 수 있는 두 점을 반드시 포함하므로 만들 수 있는 직각삼각형이 항상 존재한다. 따라서 남아있는 점의 개수가 1, 2, 3인 경우만 생각하면 된다. ① 남아있는 점의 개수가 1인 경우 꼭짓점을 정하는 방법의 수는 ${} _{6} C _{1}$ $n$번의 시행에서 모두 같은 눈이 나오는 방법의 수는 $1 ^{n}$, 따라서 ${} _{6} C _{1} \times 1 ^{n} = 6$ ② 남아있는 점의 개수가 2인 경우 꼭짓점을 정하는 방법의 수는 ${} _{6} C _{2}$ $n$번의 시행에서 꼭 2가지의 눈만 나오는 방법의 수는 $2 ^{n} - _{2} C _{1} \times 1 ^{n}$ 따라서 ${} _{6} C _{2} \times ( 2 ^{n} - _{2} C _{1} \times 1 ^{n} ) = 15 ( 2 ^{n} - 2 )$ ③ 남아있는 점의 개수가 3인 경우 직각삼각형이 존재하지 않으려면 인접한 세 점이 모두 남거나 홀수 또는 짝수 번호의 점만 남는 방법의 수는 $6 + 2 = 8$ $n$번의 시행에서 꼭 3가지의 눈만 나오는 방법의 수는 $3 ^{n} - _{3} C _{2} \times ( 2 ^{n} - _{2} C _{1} \times 1 ^{n} ) - _{3} C _{1} \times 1 ^{n} = 3 ^{n} - 3 \times 2 ^{n} + 3$ 따라서 $8 ( 3 ^{n} - 3 \times 2 ^{n} + 3 )$ ①, ②, ③에서 직각삼각형이 존재하지 않는 경우의 수는 $8 ( 3 ^{n} - 3 \times 2 ^{n} + 3 ) + 15 ( 2 ^{n} - 2 ) + 6 = 8 \times 3 ^{n} - 9 \times 2 ^{n}$ $\displaystyle p _{n} = \frac{8 \times 3 ^{n} - 9 \times 2 ^{n}}{6 ^{n}} = 8 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} - 9 \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{n} ( n \geq 3 )$ ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 $\displaystyle p _{n} = 8 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} - 9 \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{n} ( n \geq 1 )$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} p _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left\{ 8 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} - 9 \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{n} \right\} = \frac{7}{2}$ $\therefore a + b = 9$