미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

정수부분 수열 극한

문제

자연수 nn에 대하여 n2+1\displaystyle \sqrt{n ^{2} + 1}의 정수부분을 ana _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞an(n2+1−an)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} ( \sqrt{n ^{2} + 1} - a _{n} )의 값은? [3점] ①00②12\displaystyle \frac{1}{2}③22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}④11⑤2\displaystyle \sqrt{2}

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②

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해설

[출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. n2<n2+1<(n+1)2\displaystyle \sqrt{n ^{2}} < \sqrt{n ^{2} + 1} < \sqrt{( n + 1 ) ^{2}} n<n2+1<n+1\displaystyle n < \sqrt{n ^{2} + 1} < n + 1 ∴ an=na _{n} = n lim⁡n→∞an(n2+1−an)=lim⁡n→∞n(n2+1−n)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} \left( \sqrt{n ^{2} + 1} - a _{n} \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} n \left( \sqrt{n ^{2} + 1} - n \right) =lim⁡n→∞nn2+1+n=lim⁡n→∞11+1n2+1=12\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{n}{\sqrt{n ^{2} + 1} + n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n ^{2}}} + 1}} = \frac{1}{2}

태그

#수열의 극한#정수부분

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