정삼각형 조건 빈칸

[출제의도] 이차함수의 그래프를 이용하여 정삼각형의 한 변의 길이를 구하는 과정을 추론한다.

두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 지나는 직선의 방정식을 $x = t$라 하면 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 $x$좌표는 $t$이므로 이차함수 $y = x ^{2} - 2 x + 1$에 $x = t$를 대입하여 점 $\mathrm{A}$의 좌표를 구하면 다음과 같다. ${\mathrm{A}} ( t , t ^{2} - 2 t + 1 )$ 마찬가지로 이차함수 $\displaystyle y = \mathit{-} \frac{1}{2} x ^{2} + 3 x - \frac{5}{2}$에 $x = t$를 대입하여 점 $\mathrm{B}$의 좌표를 구하면 다음과 같다. $\displaystyle \mathrm{B} \mathit{\left( t , - \frac{1}{2} t ^{2} + 3 t - \frac{5}{2} \right)}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 정삼각형이 되기 위해서는 직선 $\mathrm{CD}$가 선분 $\mathrm{AB}$를 수직이등분해야 하므로, 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서 점 $\mathrm{D}$를 잇는 두 선분의 길이가 서로 같아야 한다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = {\overline{BD}}$ 선분 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}}$의 길이는 $\displaystyle {\mathrm{\overline{AD}}} = t ^{2} - 2 t + 1$ 선분 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}}$의 길이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}}$$\displaystyle = \mathit{-} \left( - \frac{1}{2} t ^{2} + 3 t - \frac{5}{2} \right)$$\displaystyle = \frac{1}{2} t ^{2} - 3 t + \frac{5}{2}$ 두 선분의 길이가 같아야 하므로 $\displaystyle t ^{2} - 2 t + 1 = \frac{1}{2} t ^{2} - 3 t + \frac{5}{2}$ 정리하면 $\displaystyle \frac{1}{2} t ^{2} + t - \frac{3}{2} = 0$ 양변에 $2$를 곱하면 $t ^{2} + \square {2 t - 3}$$= 0$ $( t - 1 ) ( t + 3 ) = 0$ 따라서 $t = 1$ 또는 $t = \square {- 3}$ (ⅰ) $t = 1$인 경우 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} \mathit{=} 1 ^{2} - 2 + 1 = 0$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} = \mathrm{\overline{AD}} = 0$이 되어 삼각형이 만들어지지 않는다. 따라서 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $t = \mathit{-} 3$인 경우 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} \mathit{=} ( - 3 ) ^{2} - 2 \times ( - 3 ) + 1 = 16$이므로 정삼각형 $\mathrm{ABC}$의 한 변의 길이는 $16 \times 2 = 32$ 정삼각형 $\mathrm{ABC}$의 높이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \times 32 = 16 \sqrt{3}$ 이때, 점 $\mathrm{C}$의 $x$좌표는 $\displaystyle - 3 + 16 \sqrt{3}$ 또는 $\displaystyle - 3 - 16 \sqrt{3}$이다. (ⅰ), (ⅱ)에 의해 양수 $k$의 값은 $\displaystyle {\square {\mathit{^{{}^{}}} - 3 + 16 \sqrt{3} \mathit{_{}}}}$이다. $f ( t ) = 2 t - 3$, $a = \mathit{-} 3$, $\displaystyle b = \mathit{-} 3 + 16 \sqrt{3}$이므로 구하는 값은 $f ( a ) + b$$\displaystyle = 2 \times ( - 3 ) - 3 + \left( - 3 + 16 \sqrt{3} \right)$ $\displaystyle = \mathit{-} 12 + 16 \sqrt{3}$