정삼각형 이동 거리

한 변의 길이가 $1$인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있다. 변 $\mathrm{BC}$위에 양 끝점이 아닌 한 점 $\mathrm{P} _{0}$을 잡는다. 그림과 같이 $\mathrm{P} _{0}$을 지나고 변 $\mathrm{AB}$와 평행한 직선을 그어 변 $\mathrm{AC}$와 만나는 점을 $\mathrm{P} _{1}$, 점 $\mathrm{P} _{1}$을 지나고 변 $\mathrm{BC}$와 평행한 직선을 그어 변 $\mathrm{AB}$와 만나는 점을 $\mathrm{P} _{2}$, 점 $\mathrm{P} _{2}$를 지나고 변 $\mathrm{AC}$와 평행한 직선을 그어 변 $\mathrm{BC}$와 만나는 점을 $\mathrm{P} _{3}$이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 점을 $\mathrm{P} _{\mathit{n}}$이라 하고, 점 $\mathrm{P} _{0}$을 출발하여 점 $\mathrm{P} _{\mathit{n}}$까지 이동한 거리 $l _{n}$을 $\displaystyle l _{n} = \overline{\mathrm{P} _{0} P _{1}} + \overline{\mathrm{P} _{1} P _{2}} + \overline{\mathrm{P} _{2} P _{3}} + \cdots + \overline{\mathrm{P} _{\mathit{n} - 1} P _{\mathit{n}}}$ ($n = 1 , 2 , 3 , \cdots$) 이라 하자. $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{l _{2 n}}{2 n + 1} = \frac{b}{a}$일 때, $a + b$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 서로소인 자연수이다.) [4점]