미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정삼각형 회전 횟수 극한

문제

한 변의 길이가 22인 정사각형과 한 변의 길이가 11인 정삼각형 ABC\mathrm{A} BC가 있다. [그림 11]과 같이 정사각형 둘레를 따라 시계 방향으로 정삼각형 ABC\mathrm{A} BC를 회전시킨다. 정삼각형 ABC\mathrm{A} BC가 처음 위치에서 출발한 후 정사각형 둘레를 nn바퀴 도는 동안, 변BC\mathrm{B} C가 정사각형의 변 위에 놓이는 횟수를 ana _{n}이라 하자. 예를 들어 n=1n = 1일 때, [그림 22]와 같이 변 BC\mathrm{B} C가 22회 놓이므로 a1=2a _{1} = 2이다. 이때,lim⁡n→∞a3n−2n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{3n-2}}{n}}의 값은? [4점]

[그림 11] [그림 22] ①88②1010③1212④1414⑤1616

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①

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해설

정삼각형 ABC\mathrm{A} BC가 한 바퀴 도는 동안 정삼각형의 변은 정사각형의 변 위에 88번 놓인다. 따라서, 정삼각형 ABC\mathrm{A} BC가 세 바퀴 도는 동안 정삼각형의 변은 정사각형의 변 위에 2424번 놓인다. 이 때, 변 BC\mathrm{B} C는 88번이 놓이게 되므로 33바퀴 더 돌면 88번 더 놓인다. ∴an+3=an+8\therefore a _{n + 3} = a _{n} + 8 a3n−2=a1+3(n−1)a _{3 n - 2} = a _{1 + 3 ( n - 1 )} =a1+8(n−1)=8n−6= a _{1} + 8 ( n - 1 ) = 8 n - 6 ∴lim⁡n→∞a3n−2n=lim⁡n→∞8n−6n=8\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{a _{3 n - 2}}{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{8 n - 6}{n} = 8

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