중학중학 미분류수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정삼각형 합동과 닮음

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 12\mathrm{12}인 정삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 변 BC\mathrm{BC} 위에 DC‾=4\displaystyle {\overline{\mathrm{DC}}} = 4인 점 D\mathrm{D}가 있다. 선분 AD\mathrm{AD}를 한 변으로 하는 정삼각형 ADE\mathrm{ADE}에 대하여 선분 AC\mathrm{AC}와 선분 DE\mathrm{DE}가 만나는 점을 F{\mathrm{F}}라 하자.

다음은 선분 CF{\mathrm{CF}}의 길이를 구하는 과정이다.

두 정삼각형 ABC\mathrm{ABC}, ADE\mathrm{ADE}에서 AB‾=AC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{AC}}}, AD‾=AE‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = {\overline{\mathrm{AE}}} 이고, ∠BAD=60∘−∠DAC=∠CAE\angle \mathrm{BAD} \mathit{=} 60 ^\circ - \angle \mathrm{DAC} \mathit{=} \angle \mathrm{CAE} 이므로 삼각형 ABD\mathrm{ABD}와 삼각형 ACE\mathrm{ACE}는 서로 합동이다. 그러므로 ∠ECA=60∘\angle \mathrm{ECA} \mathit{=} 60 ^\circ, CE‾=\displaystyle {\overline{\mathrm{CE}}} =□(가){\square {( \text{가} )}} 이다. 한편 각 AFD\mathrm{AFD}와 각 CFE\mathrm{CFE}는 서로 맞꼭지각이고, ∠FDA=∠ECF\angle \mathrm{FDA} \mathit{=} \angle \mathrm{ECF}이므로 ∠DAF=∠FEC\angle \mathrm{DAF} \mathit{=} \angle \mathrm{FEC} 이다. 또한 ∠ACD=∠ECF\angle \mathrm{ACD} \mathit{=} \angle \mathrm{ECF}이므로 삼각형 ACD\mathrm{ACD}와 삼각형 ECF\mathrm{ECF}는 서로 닮은 도형이고, 삼각형 ACD\mathrm{ACD}와 삼각형 ECF\mathrm{ECF}의 닮음비는 □(나){\square {( \text{나} )}}:2: 2이다. 따라서 CF‾=\displaystyle {\overline{\mathrm{CF}}} =□(다){\square {( \text{다} )}} 이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 pp, qq, rr라 할 때, p+q+rp + q + r의 값은? (단, 선분 AB\mathrm{AB}와 선분 DE\mathrm{DE}는 만나지 않는다.) [4점] ①413\displaystyle \frac{41}{3}②14\mathrm{14}③433\displaystyle \frac{43}{3}④443\displaystyle \frac{44}{3}⑤15\mathrm{15}

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①

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해설

두 정삼각형 ABC{\mathrm{ABC}}, ADE\mathrm{ADE}에서 AB‾=AC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{AC}}}, AD‾=AE‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = {\overline{\mathrm{AE}}}이고, ∠BAD=60∘−∠DAC=∠CAE\angle \mathrm{BAD} \mathit{=} 60 ^\circ - \angle \mathrm{DAC} \mathit{=} \angle \mathrm{CAE}이므로 삼각형 ABD\mathrm{ABD}와 삼각형 ACE\mathrm{ACE}는 서로 합동이다. 그러므로 ∠DBA=∠ECA\angle \mathrm{DBA} \mathit{=} \angle \mathrm{ECA}, BD‾=CE‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} = {\overline{\mathrm{CE}}}이고, ∠DBA=60∘\angle \mathrm{DBA} \mathit{=} 60 ^\circ, BD‾=BC‾−DC‾=12−4=8\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} = {\overline{\mathrm{BC}}} - {\overline{\mathrm{DC}}} = 12 - 4 = 8이므로 ∠ECA=60∘\angle \mathrm{ECA} \mathit{=} 60 ^\circ, CE‾=□8\displaystyle {\overline{\mathrm{CE}}} = \square {8} 한편 각 AFD\mathrm{AFD}와 각 CFE\mathrm{CFE}는 서로 맞꼭지각이고, ∠FDA=∠ECF\angle \mathrm{FDA} \mathit{=} \angle \mathrm{ECF}이므로 ∠DAF=∠FEC\angle \mathrm{DAF} \mathit{=} \angle \mathrm{FEC} 또한 ∠ACD=∠ECF\angle \mathrm{ACD} \mathit{=} \angle \mathrm{ECF}이므로 삼각형 ACD\mathrm{ACD}와 삼각형 ECF\mathrm{ECF}는 서로 닮은 도형이고, 삼각형 ACD\mathrm{ACD}와 삼각형 ECF\mathrm{ECF}의 닮음비는 AC‾:EC‾=12:8=□3:2\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} : {\overline{\mathrm{EC}}} = 12 : 8 = \square {3} : 2이다. 따라서 CD‾:CF‾=3:2\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} : {\overline{\mathrm{CF}}} = 3 : 2, CD‾=4\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} = 4에서 3CF‾=4×2\displaystyle 3 {\overline{\mathrm{CF}}} = 4 \times 2, CF‾=□83\displaystyle {\overline{\mathrm{CF}}} = \square {\frac{8}{3}} 따라서 p=8p = 8, q=3q = 3, r=83\displaystyle r = \frac{8}{3}에서 p+q+r=413\displaystyle p + q + r = \frac{41}{3}

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