정사각뿔 높이

[출제의도] 이중근호의 값을 계산한다. 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이가 $\displaystyle 48 + 32 \sqrt{2}$이므로 정사각형의 한 변의 길이는 $\displaystyle \sqrt{48 + 32 \sqrt{2}}$$\displaystyle = \sqrt{16} \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$$\displaystyle = 4 \left( \sqrt{2} + 1 \right)$$\displaystyle = 4 \sqrt{2} + 4$ 이다. 그러므로 변 $\mathrm{BC}$의 길이는 $\displaystyle 4 \sqrt{2} + 4$ 점 $\mathrm{O}$에서 밑면 $\mathrm{ABCD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면

점 $\mathrm{H}$는 선분 $\mathrm{BD}$의 중점이고 선분 $\mathrm{BD}$는 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 대각선이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} = \sqrt{2} \cdot \mathrm{\overline{BC}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{HB}}$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{\overline{BD}}{2}$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \overline{BC}$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( 4 \sqrt{2} + 4 \right)$ $\displaystyle = 4 + 2 \sqrt{2}$ 한편, 직각삼각형 $\mathrm{OHB}$에서 선분 $\mathrm{OB}$가 빗변이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OH}} ^{2} = \overline{OB} ^{2} - \overline{HB} ^{2}$ $\displaystyle = \left( 4 \sqrt{2} + 4 \right) ^{2} - \left( 4 + 2 \sqrt{2} \right) ^{2}$ $\displaystyle = \left( 6 \sqrt{2} + 8 \right) \left( 2 \sqrt{2} \right)$ $\displaystyle = 24 + 16 \sqrt{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OH}} = \sqrt{24 + 16 \sqrt{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{4} \sqrt{6 + 4 \sqrt{2}}$ $\displaystyle = 2 \sqrt{6 + 2 \sqrt{8}}$ $\displaystyle = 2 ( \sqrt{4} + \sqrt{2} )$ $\displaystyle = 4 + 2 \sqrt{2}$$\displaystyle = a + b \sqrt{2}$ $a = 4 , b = 2$ $10 a + b$$= 10 \cdot 4 + 2$$= 42$ [다른 풀이1] 사각뿔 $\mathrm{O} - ABCD$의 한 모서리의 길이를 $k$라 하자. $\displaystyle \mathrm{\overline{OD}}$$\displaystyle \mathrm{=} \overline{OB} \mathit{=} k$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} = \sqrt{2} \times \overline{BC} = \sqrt{2} \mathit{k}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OD}} ^{2} + \overline{OB} ^{2} = \mathit{k} ^{2} + k ^{2}$$\displaystyle = \left( \sqrt{2} k \right) ^{2}$$\displaystyle \mathrm{=} \overline{BD} ^{2}$ 따라서 삼각형 $\mathrm{OBD}$는 선분 $\mathrm{BD}$가 빗변인 직각이등변삼각형이다. $\displaystyle \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{BD}} \times \overline{OH} = \frac{1}{2} \times \overline{OD} \times \overline{OB}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{OH}} = \frac{\overline{OD} \times \overline{OB}}{\overline{BD}}$$\displaystyle = \frac{k \times k}{\sqrt{2} k}$$\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{2}} k$$\displaystyle = \frac{\mathrm{1}}{\sqrt{2}} \times \left( 4 \sqrt{2} + 4 \right)$ $\displaystyle = 4 + 2 \sqrt{2}$ [다른 풀이2] $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \overline{OD}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{OB}$, 선분 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}}$(공통)이므로 $\mathrm{\triangle} ABD \equiv \triangle OBD$ (SSS합동) $\displaystyle \mathrm{\overline{OH}} = \overline{HA} = \frac{1}{\sqrt{2}} \overline{AB}$$\displaystyle = \frac{\mathrm{1}}{\sqrt{2}} \times \left( 4 \sqrt{2} + 4 \right)$$\displaystyle = 4 + 2 \sqrt{2}$