중학중학 미분류수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정사각형에서 줄어든 수사망의 넓이

문제

범죄가 발생한 지점을 중심으로 하여 정사각형 모양이 되도록 네 꼭짓점 A,B,C,D\mathrm{A} , B , C , D를 설정한 후, 다음과 같은 방법으로 수사망을 좁혀서 범인을 검거하려고 한다. (가) 정사각형 ABCD\mathrm{A} BCD의 대각선의 교점이 범죄가 발생한 지점이다. (나) 각 꼭짓점에서 그 꼭짓점과 이웃하지 않는 두 변의 중점을 각각 선분으로 연결한다. (다) 각 꼭짓점과 변의 중점을 연결한 선분에 의해 둘러싸인 영역을 새로운 수사망으로 한다.

정사각형 ABCD\mathrm{A} BCD의 한 변의 길이가 2km2 \mathrm{k} m일 때, 새로운 수사망의 넓이는? (단, 단위는 km2\mathrm{k} m ^{2}이다.) ①12\displaystyle \frac{1}{2}②23\displaystyle \frac{2}{3}③34\displaystyle \frac{3}{4}④45\displaystyle \frac{4}{5}⑤56\displaystyle \frac{5}{6}

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②

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해설

사각형 ABCD\mathrm{ABCD}의 넓이에서 삼각형들의 넓이를 빼서 수사망의 넓이를 구하자. (ⅰ) 삼각형 CEI\mathrm{CEI}와 삼각형 BHO\mathrm{BHO}, 삼각형 AGM\mathrm{AGM}, 삼각형 DFK\mathrm{DFK}는 모두 합동이고, 삼각형 CEI\mathrm{CEI}의 밑변 CE\mathrm{CE}의 길이가 11, 높이가 11이므로 △CEI+△BHO+△AGM+△DFK\mathrm{\triangle} CEI + \triangle BHO + \triangle AGM + \triangle DFK=4×12×1×1=2\displaystyle = 4 \times \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = 2

(ⅱ) 삼각형 BDC\mathrm{BDC}에서 삼각형 BDC\mathrm{BDC}의 무게중심이 P\mathrm{P}이므로 삼각형 BEP\mathrm{BEP}의 넓이는 삼각형 BCD\mathrm{BCD}의 넓이의 16\displaystyle \frac{1}{6}이다. ∴△BEP=16×△BCD\displaystyle \mathrm{\therefore} \triangle BEP = \frac{1}{6} \times \triangle BCD=16×12×2×2=13\displaystyle = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = \frac{1}{3} 이때, 삼각형 BEP\mathrm{BEP}와 삼각형 CFJ\mathrm{CFJ}, 삼각형 DGL\mathrm{DGL}, 삼각형 AHN\mathrm{AHN}은 모두 합동이므로 △BEP+△CFJ+△DGL+△AHN\mathrm{\triangle} BEP + \triangle CFJ + \triangle DGL + \triangle AHN =4×13=43\displaystyle = 4 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3}

따라서 새로운 수사망의 넓이는 (팔각형 IJKLMNOP\mathrm{IJKLMNOP}의 넓이)=2×2−(2+43)\displaystyle = 2 \times 2 - \left( 2 + \frac{4}{3} \right)=4−103=23\displaystyle = 4 - \frac{10}{3} = \frac{2}{3}

태그

#무게중심#도형의 넓이

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