정사각형 토지 넓이

[출제의도] 이차방정식을 활용하여 사각형의 넓이를 구한다.

정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 한 변의 길이를 $x$($x > 0$)라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{ED}} = \mathit{x} - 5$, $\displaystyle \mathrm{\overline{DF}} = \mathit{x} - 3$ 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이는 $x ^{2}$이고, 삼각형 $\mathrm{EFD}$의 넓이는 $\displaystyle \left. \frac{1}{2} ( x - 5 ) ( x - 3 ) \right.$$\displaystyle = \frac{1}{2} \left( x ^{2} - 8 x + 15 \right)$ 오각형 $\mathrm{ABCFE}$의 넓이가 $129$이므로 $\displaystyle x ^{2} - \frac{1}{2} \left( x ^{2} - 8 x + 15 \right) = 129$ $\displaystyle \frac{1}{2} x ^{2} + 4 x - \frac{15}{2} = 129$ 등식의 양변에 $2$를 곱하면 $x ^{2} + 8 x - 15 = 258$ $x ^{2} + 8 x - 273 = 0$ $( x + 21 ) ( x - 13 ) = 0$ $x = - 21$ 또는 $x = 13$ $x > 0$이므로 $x = 13$ 따라서 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이는 $169 \mathrm{m} ^{2}$이므로 $a = 169$ [다른 풀이]

점 $\mathrm{F}$에서 변 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. 두 점 $\mathrm{F}$, $\mathrm{H}$를 연결하는 선분에 의해 오각형 $\mathrm{ABCFE}$는 사다리꼴 $\mathrm{AHFE}$와 직사각형 $\mathrm{HBCF}$로 나누어진다. 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 한 변의 길이를 $x$($x > 0$)라 하자. 사다리꼴 $\mathrm{AHFE}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \left( x + 5 \right) ( x - 3 )$$\displaystyle = \frac{1}{2} \left( x ^{2} + 2 x - 15 \right)$ 직사각형 $\mathrm{HBCF}$의 넓이는 $3 x$이고 오각형 $\mathrm{ABCFE}$의 넓이가 $129$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \left( x ^{2} + 2 x - 15 \right) + 3 x$$= 129$ $\displaystyle \frac{1}{2} x ^{2} + x - \frac{15}{2} + 3 x = 129$ $\displaystyle \frac{1}{2} x ^{2} + 4 x - \frac{15}{2} = 129$ 등식의 양변에 $2$를 곱하면 $x ^{2} + 8 x - 15 = 258$ $x ^{2} + 8 x - 273 = 0$ $( x + 21 ) ( x - 13 ) = 0$ $x = - 21$ 또는 $x = 13$ $x > 0$이므로 $x = 13$ 따라서 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이는 $169 \mathrm{m} ^{2}$이므로 $a = 169$