공통수학2평면좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정사각형 좌표 거리

문제

그림과 같이 $x$ 축 위의 네 점 $\mathrm{A} _{1} , A _{2} , A _{3} , A _{4}$ 에 대하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{OA _{1}}} , \overline{A _{1} A _{2}} , \overline{A _{2} A _{3}} , \overline{A _{3} A _{4}}$ 를 각각 한 변으로 하는 정사각형 $\mathrm{OA} _{1} B _{1} C _{1}$ , $\mathrm{A} _{1} A _{2} B _{2} C _{2}$ , $\mathrm{A} _{2} A _{3} B _{3} C _{3}$ , $\mathrm{A} _{3} A _{4} B _{4} C _{4}$ 가 있다. 점 $\mathrm{B} _{4}$ 의 좌표가 $( 30 , 18 )$ 이고 정사각형 $\mathrm{OA} _{1} B _{1} C _{1}$ , $\mathrm{A} _{1} A _{2} B _{2} C _{2}$ , $\mathrm{A} _{2} A _{3} B _{3} C _{3}$ 의 넓이의 비가 $1 : 4 : 9$ 일 때, $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{1} B _{3}}} ^{2}$ 의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) [4점]

$\mathrm{B} _{4} ( 30 , 18 )$

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116

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해설

[출제의도] 평면좌표를 이용하여 수학내적문제 해결하기 정사각형 $\mathrm{A} _{3} A _{4} B _{4} C _{4}$ 는 한 변의 길이가 $18$ 이므로 점 $\mathrm{A} _{3}$ 의 좌표는 $( 12 , 0 )$ 정사각형 $\mathrm{O} A _{1} B _{1} C _{1}$ , $\mathrm{A} _{1} A _{2} B _{2} C _{2}$ , $\mathrm{A} _{2} A _{3} B _{3} C _{3}$ 의 넓이의 비가 $1 : 4 : 9$ 이므로 정사각형의 한 변의 길이의 비는 $\displaystyle \mathrm{\overline{OA _{1}}} : \overline{A _{1} A _{2}} : \overline{A _{2} A _{3}} = 1 : 2 : 3$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OA _{3}}} = 12$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OA _{1}}} = 2$ , $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} A _{2}}} = 4$ , $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{2} A _{3}}} = 6$ 그러므로 $\mathrm{B} _{1} ( 2 , 2 )$ , $\mathrm{B} _{3}$ $( 12 , 6 )$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{1} B _{3}}} ^{2} = \left( \sqrt{100 + 16} \right) ^{2} = 116$

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