정사각형 굴리기

[출제의도] 도형의 이동을 추측하고 무리식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 $\mathrm{C}$를 중심으로 정사각형 $\mathrm{ABCD}$가 $\displaystyle \frac{1}{4}$바퀴 구른 후에 정사각형은 두 번째 사각형의 위치에 온다. 이 과정에서 점 $\mathrm{A}$가 움직인 거리는 반지름이 $\displaystyle 4 \sqrt{2}$(∵ 점 $\mathrm{A}$가 그리는 원의 반지름은 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 대각선의 길이와 같다.)인 사분원의 호의 길이와 같으므로 $\displaystyle 2 \times ( 4 \sqrt{2} ) \pi \times \frac{1}{4} = 2 \sqrt{2} \pi$ 두 번째 사각형의 위치에 있던 정사각형 $\mathrm{BCDA}$가 점 $\mathrm{D}$를 중심으로 $\displaystyle \frac{1}{4}$바퀴 구른 후의 정사각형은 세 번째 사각형의 위치에 온다. 이 과정에서 점 $\mathrm{A}$가 움직인 거리는 반지름이 $4$(∵ 점 $\mathrm{A}$가 그리는 원의 반지름은 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 한 변의 길이와 같다.)인 사분원의 호의 길이와 같으므로 $\displaystyle 2 \times 4 \times \pi \times \frac{1}{4} = 2 \pi$ 세 번째 사각형의 위치에 있던 정사각형 $\mathrm{CDAB}$가 점 $\mathrm{A}$를 중심으로 $\displaystyle \frac{1}{4}$바퀴 구른 후에 정사각형은 네 번째 사각형의 위치에 온다. 이 과정에서 점 $\mathrm{A}$는 이동하지 않으므로 움직인 거리는 $0$이다. 마지막으로 네 번째 사각형의 위치에 있던 정사각형 $\mathrm{DABC}$가 점 $\mathrm{B}$를 중심으로 $\displaystyle \frac{1}{4}$바퀴 구른 후의 정사각형은 다섯 번째 사각형의 위치에 온다. 이 과정에서 점 $\mathrm{A}$가 움직인 거리는 반지름이 $4$(∵ 점 $\mathrm{A}$가 그리는 원의 반지름은 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 한 변의 길이와 같다.)인 사분원의 호의 길이와 같으므로 $\displaystyle 2 \times 4 \times \pi \times \frac{1}{4} = 2 \pi$ 점 $\mathrm{A}$가 움직인 거리는 이 값들을 모두 더한 값이므로 $\displaystyle x = \left( 2 \sqrt{2} + 4 \right) \pi$이다. 또 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$사이의 거리 $y$는 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 각 변이 한 번씩 지나간 거리와 같으므로 $y = 4 \times 4 = 16$ 그러므로 $\displaystyle d = \frac{4 x}{\pi} - \frac{y}{4} = 12 + 8 \sqrt{2}$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{d} + 2} + \frac{1}{\sqrt{d} - 2}$$\displaystyle = \frac{2 \sqrt{d}}{d - 4}$$\displaystyle = \frac{2 \sqrt{12 + 8 \sqrt{2}}}{8 + 8 \sqrt{2}}$$\displaystyle = \frac{4 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{8 ( 1 + \sqrt{2} )}$$\displaystyle = \frac{{1 + \sqrt{2}}}{2 ( 1 + \sqrt{2} )}$$\displaystyle = \frac{1}{2}$