정사각형 각이등분선 비

[출제의도] 삼각형의 닮음과 피타고라스 정리를 이용하여 선분의 길이를 구한다. 두 반직선 $\mathrm{AQ}$, $\mathrm{BC}$이 만나는 점을 $\mathrm{S}$라 하자.

선분 $\mathrm{AR}$는 $\angle \mathrm{DAP}$의 이등분선이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} : \overline{AD}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{PR}} : \overline{RD}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} : \overline{AD}$$= 17 : 15$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = \mathit{17} t$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \mathit{15} t$($t$는 양수)라 하자. 사각형 $\mathrm{ABCD}$는 정사각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{AD} = \mathit{15} t$ 직각삼각형 $\mathrm{ABP}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} ^{2}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{AP}} ^{2} - {\overline{AB}} ^{2}$$= ( 17 t ) ^{2} - ( 15 t ) ^{2}$$= 64 t ^{2}$$= ( 8 t ) ^{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} > 0$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = \mathit{8} t$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PC}} = \overline{AD} - \overline{BP}$$= 7 t$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PC}} = 1$이므로 $\displaystyle t = {\frac{1}{7}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} \parallel \overline{PS}$이므로 $\mathrm{\angle} {DAS} = \angle {PSA}$(엇각) 따라서 삼각형 $\mathrm{APS}$는 이등변삼각형이다. 그러므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PS}} = \overline{PA} = \mathit{17} t = {17} \times {\frac{1}{7}} = {\frac{17}{7}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CS}} = \overline{PS} - \overline{PC} = {\frac{17}{7}} - 1 = {\frac{10}{7}}$ 두 삼각형 $\mathrm{ABS}$, $\mathrm{QCS}$에서 $\angle \mathrm{S}$는 공통인 각, $\angle \mathrm{ABS} = \angle QCS = 90 ^\circ$이므로 $\mathrm{\triangle} ABS \backsim \triangle QCS$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BS}} = \overline{BC} + \overline{CS}$$\displaystyle = {\frac{15}{7}} + {\frac{10}{7}}$$\displaystyle = {\frac{25}{7}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} : \overline{QC} = \overline{BS} : \overline{CS}$ $\displaystyle \frac{15}{7} : l = \frac{25}{7} : \frac{10}{7}$ $\displaystyle {\frac{25}{7} l = \frac{150}{49}}$, $\displaystyle l = {\frac{6}{7} {}}$ 그러므로 $\displaystyle 70 l = 70 \times {\frac{6}{7}} = 60$ [다른 풀이]

점 $\mathrm{P}$에서 변 $\mathrm{AD}$에 내린 수선의 발을 점 $\mathrm{S}$, 두 선분 $\mathrm{S P}$, $\mathrm{AQ}$가 만나는 점을 $\mathrm{T}$라 하자. 선분 $\mathrm{AR}$는 $\angle \mathrm{DAP}$의 이등분선이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} : \overline{AD}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{PR}} : \overline{RD}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} : \overline{AD}$$= 17 : 15$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = \mathit{17} t$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \mathit{15} t$($t$는 양수)라 하자. 사각형 $\mathrm{ABCD}$는 정사각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{AD} = \mathit{15} t$ 직각삼각형 $\mathrm{ABP}$에서 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} ^{2}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{AP}} ^{2} - {\overline{AB}} ^{2}$$= ( 17 t ) ^{2} - ( 15 t ) ^{2}$$= 64 t ^{2}$$= ( 8 t ) ^{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} > 0$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = \mathit{8} t$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PC}} = \overline{AD} - \overline{BP}$$= 7 t$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PC}} = 1$이므로 $\displaystyle t = {\frac{1}{7}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AS}} = \overline{BP} = \mathit{8} t = \frac{8}{7}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} \frac{= \mathit{17}}{7}$ 선분 $\mathrm{AT}$는 $\angle \mathrm{SAP}$의 이등분선이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{S T}} : \overline{T P}$$\displaystyle \mathrm{=} \overline{AS} : \overline{AP}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{S T}} : \overline{T P}$$= 8 : 17$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{S T}} = {\frac{8}{25}} \times \overline{S P} = {\frac{8}{25}} \times {\frac{15}{7}} = {\frac{24}{35}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{S T}} \parallel \overline{DQ}$이므로 $\mathrm{\triangle} A ST \backsim \triangle ADQ$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AS}} : \overline{S T} = \overline{AD} : \overline{DQ}$ $\displaystyle {\frac{8}{7}} : {\frac{24}{35}} = {\frac{15}{7}} : \mathrm{\overline{DQ}}$ $\displaystyle {\frac{8}{7}} \times \mathrm{\overline{DQ} = {\frac{24}{35} \times {\frac{15}{7}}}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{DQ} = \frac{9}{7}}$이므로 $\displaystyle l \mathrm{=} \overline{DC} - \overline{DQ} = {\frac{15}{7}} - {\frac{9}{7}} = {\frac{6}{7}}$ 따라서 $\displaystyle 70 l = 70 \times {\frac{6}{7}} = 60$