정사각형 붙인 육각형

[출제의도] 삼각형의 넓이 공식을 이용하여 육각형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

사각형 $\mathrm{APQB}$, $\mathrm{BRSC}$, $\mathrm{CTUA}$의 넓이는 각각 $c ^{2}$, $a ^{2}$, $b ^{2}$이고, $\mathrm{\triangle} ABC$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} ab$이다. 또, $\mathrm{\angle} BAC = \mathit{\theta}$라고 하면 $\angle PAU = 180 ^\circ - \mathit{\theta}$이므로 $\mathrm{\triangle} PAU$의 넓이는 $\displaystyle \mathrm{\triangle} PAU = \frac{1}{2} \overline{AU} \overline{AP} \sin ( 180 ^\circ - \theta )$$\displaystyle = \frac{1}{2} bc \sin \theta$$= \mathrm{\triangle} ABC$$\displaystyle = \frac{1}{2} \mathit{ab}$ 이다. 마찬가지 방법으로 $\mathrm{\triangle} QRB$, $\mathrm{\triangle} CST$의 넓이도 각각 $\displaystyle \frac{1}{2} ab$이다. 따라서 육각형 $\mathrm{PQRSTU}$의 넓이는 $\displaystyle c ^{2} + a ^{2} + b ^{2} + \frac{1}{2} ab \times 4 = 2 ( c ^{2} + ab )$ (∵ $a ^{2} + b ^{2} = c ^{2}$)