정사각형 붙이기

[출제의도] 소인수분해를 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

그림과 같이 선분 $\mathrm{AB}$에 수직이고 점 $\mathrm{F}$를 지나는 직선이 선분 $\mathrm{AB}$와 만나는 점을 $\mathrm{G}$, 선분 $\mathrm{BC}$에 수직이고 점 $\mathrm{E}$를 지나는 직선이 선분 $\mathrm{DA}$와 만나는 점을 $\mathrm{H}$, 두 선분 $\mathrm{GF}$와 $\mathrm{EH}$가 만나는 점을 $\mathrm{I}$라 하자. 직사각형 $\mathrm{AGIH}$의 내부에 정사각형을 서로 겹치지 않고 빈틈없이 붙이려면 붙이는 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이가 두 선분 $\mathrm{AG}$, $\mathrm{GI}$의 길이의 공약수가 되어야 한다. 이때 붙이는 정사각형 모양의 종이의 개수가 최소가 되기 위해서는 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이가 두 선분 $\mathrm{AG}$, $\mathrm{GI}$의 길이의 최대공약수가 되어야 한다. 같은 방법으로 직사각형 $\mathrm{GBEI}$의 내부에 정사각형 모양의 종이를 서로 겹치지 않고 빈틈없이 붙일 때, 붙이는 종이의 개수가 최소가 되기 위해서는 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이가 두 선분 $\mathrm{GB}$, $\mathrm{BE}$의 길이의 최대공약수가 되어야 한다. 같은 방법으로 직사각형 $\mathrm{HIFD}$의 내부에 정사각형 모양의 종이를 서로 겹치지 않고 빈틈없이 붙일 때, 붙이는 종이의 개수가 최소가 되기 위해서는 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이가 두 선분 $\mathrm{HI}$, $\mathrm{IF}$의 길이의 최대공약수가 되어야 한다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AG}} = 72$, $\displaystyle \mathrm{\overline{GI}} = 90$에서 $72 = 2 ^{3} \times 3 ^{2}$ $90$$= 2 \times 3 ^{2} \times 5$ 이므로 $72$와 $90$의 최대공약수는 $2 \times 3 ^{2}$$= 18$ $\displaystyle \mathrm{\overline{GB}} = 48$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BE}} = 90$에서 $48 = 2 ^{4} \times 3$ $90$$= 2 \times 3 ^{2} \times 5$ 이므로 $48$과 $90$의 최대공약수는 $2 \times 3$$= 6$ $\displaystyle \mathrm{\overline{HI}} = 72$, $\displaystyle \mathrm{\overline{IF}} = 60$에서 $72 = 2 ^{3} \times 3 ^{2}$ $60 = 2 ^{2} \times 3 \times 5$ 이므로 $72$과 $60$의 최대공약수는 $2 ^{2} \times 3$$= 12$ 세 직사각형 $\mathrm{AGIH}$, $\mathrm{GBEI}$, $\mathrm{HIFD}$에 합동인 정사각형 모양의 종이를 붙여야 하므로 한 변의 길이는 $18$, $6$, $12$의 공약수가 되어야 한다. 이때 모양의 종이의 내부에 붙이는 정사각형 모양의 종이의 개수가 최소가 되기 위해서는 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이가 $18$, $6$, $12$의 최대공약수 $6$이 되어야 한다. 그러므로 붙이는 정사각형 모양의 종이 $1$개의 넓이는 $6 ^{2}$$= 36$ $\left( {\square \mathrm{AGIH} + \square GBEI + \square HIFD} \right) \div 36$ $= \left( 72 \times 90 + 48 \times 90 + 72 \times 60 \right) \div 36$$= 420$ 따라서 붙일 수 있는 종이의 개수의 최솟값은 $420$