정오각형 넓이 비

[출제의도] 피타고라스의 정리를 이해하고 도형의 넓이를 구한다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} : {\overline{BC}} = \sqrt{3} : 1$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \mathit{k}$($k > 0$)이라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \sqrt{3} \mathit{k}$이다. 피타고라스의 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} ^{2} + {\overline{BC}} ^{2} = {\overline{CA}} ^{2}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{CA}} ^{2} = \mathit{\left( \sqrt{3} k \right)} ^{2} + k ^{2} = 4 k ^{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CA}} = 2 \mathit{k}$ 즉, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} : {\overline{BC}} : {\overline{CA}} = \sqrt{3} : 1 : 2$ 정오각형은 모두가 닮은 도형이고 닮음비가 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} : {\overline{BC}} : {\overline{CA}} = \sqrt{3} : 1 : 2$ 이므로 각각의 변을 한 변으로 하는 정오각형의 넓이의 비는 $\displaystyle \left( \sqrt{3} \right) ^{2} : 1 ^{2} : 2 ^{2} = 3 : 1 : 4$ 변 $\mathrm{CA}$를 한 변으로 하는 정오각형의 넓이를 $S$라 하면 변 $\mathrm{AB}$를 한 변으로 하는 정오각형의 넓이가 $54$이므로 $3 : 4 = 54 : S$ $S = 72$ 따라서 변 $\mathrm{CA}$를 한 변으로 하는 정오각형의 넓이는 $72$