중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정구각형 대각선 증명

문제

다음은 “한 변의 길이가 aa인 정구각형에서 가장 짧은 대각선의 길이가 bb이면 가장 긴 대각선의 길이 d=d =(다) 이다.”임을 증명하는 과정이다.

<증명> 림과 같이 정구각형에 외접하는 원을 그린 후 가장 짧은 대각선의 양 끝점을 Q,S\mathrm{Q} , S, 가장 긴 대각선의 양 끝점을 P,T\mathrm{P} , T라 하고 PQ‾,TS‾\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} , \overline{TS}를 연장하여 만나는 점을 R\mathrm{R}이라 하자. aa bb dd P\mathrm{P} Q\mathrm{Q} S\mathrm{S} T\mathrm{T} R\mathrm{R} 호 ⌢QT\mathrm{\frown {QT}}와 ⌢PS\mathrm{\frown {PS}}의 중심각의 크기가 모두 (가) ∠QPT=∠STP\angle \mathrm{QPT} = \angle \mathrm{STP}이다. 사각형 PQST\mathrm{PQST}는 원에 내접하는 사각형이므로 ∠RQS=∠RSQ\angle \mathrm{RQS} = \angle \mathrm{RSQ} 이다. 따라서 △PRT\triangle \mathrm{PRT}와 △QRS\triangle \mathrm{QRS}는 모두 (나) 그러므로 d=d =(다)

호 ⌢QT\mathrm{\frown {QT}}와 ⌢PS\mathrm{\frown {PS}}의 중심각의 크기가 모두 (가) 이므로 ∠QPT=∠STP\angle \mathrm{QPT} = \angle \mathrm{STP}이다. 사각형 PQST\mathrm{PQST}는 원에 내접하는 사각형이므로 ∠RQS=∠RSQ\angle \mathrm{RQS} = \angle \mathrm{RSQ} 이다. 따라서 △PRT\triangle \mathrm{PRT}와 △QRS\triangle \mathrm{QRS}는 모두 (나) 이다. 그러므로 d=d =(다) 이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가)(나)(다)
①120∘120 ^\circ정삼각형2a+b2 a + b
②120∘120 ^\circ이등변삼각형2a+b2 a + b
③120∘120 ^\circ정삼각형a+ba + b
④135∘135 ^\circ이등변삼각형a+ba + b
⑤135∘135 ^\circ정삼각형2a+b2 a + b
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③

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해설

[출제의도] 도형의 성질을 이용하여 증명하기

60∘60 ^\circ 60∘60 ^\circ 60∘60 ^\circ

호 ⌢QT\frown {\mathrm{QT}}와 ⌢PS\frown {\mathrm{PS}}에 대한 중심각의 크기가 모두 40∘×3=120∘40 ^\circ \times 3 = 120 ^\circ이므로, 원주각의 크기는 ∠QPT=∠PTS=\angle \mathrm{QPT} = \angle PTS = 60∘60 ^\circ이다. 사각형 PQST\mathrm{PQST}는 원에 내접하는 사각형이므로 ∠PQS=∠TSQ=120∘\angle \mathrm{PQS} = \angle TSQ = 120 ^\circ이고, ∠RQS=∠RSQ=60∘\angle \mathrm{RQS} = \angle \mathrm{RSQ} = 60 ^\circ이다. 따라서 △PRT\mathrm{\triangle} PRT와 △QRS\mathrm{\triangle} QRS는 모두 정삼각형이다. ∴d=PT‾=PR‾=PQ‾+QR‾\displaystyle \therefore d = \mathrm{\overline{PT}} = \overline{PR} = \overline{PQ} + \overline{QR}=PQ‾+QS‾=a+b\displaystyle = \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QS}} = a + b

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#원에 내접하는 사각형#증명#중학

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