전개식의 계수

[출제의도] 이항정리를 이용하여 다항식의 계수를 구할 수 있는가 $\left( x - 1 \right) ^{6} \left( 2 x + 1 \right) ^{7}$의 전개식에서 $x ^{2}$의 계수는 다음과 같이 나누어 구할 수 있다. (ⅰ) $\left( x - 1 \right) ^{6}$의 전개식에서 $x ^{2}$항은 ${} _{6} {\mathrm{C}} _{2} x ^{2} \left( - 1 \right) ^{4} = 15 x ^{2}$ $\left( 2 x + 1 \right) ^{7}$의 전개식에서 상수항은 $1 ^{7} = 1$ (ⅱ) $\left( x - 1 \right) ^{6}$의 전개식에서 $x$항은 ${} _{6} {\mathrm{C}} _{1} x ^{1} \left( - 1 \right) ^{5} = \mathit{-} 6 x$ $\left( 2 x + 1 \right) ^{7}$의 전개식에서 $x$항은 ${} _{7} {\mathrm{C}} _{1} \left( 2 x \right) 1 ^{6} = 14 x$ (ⅲ) $\left( x - 1 \right) ^{6}$의 전개식에서 상수항은 $\left( - 1 \right) ^{6} = 1$ $\left( 2 x + 1 \right) ^{7}$의 전개식에서 $x ^{2}$항은 ${} _{7} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} \left( 2 \mathit{x} \right) ^{2} 1 ^{5} = 21 \times 4 x ^{2} = 84 x ^{2}$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $\left( x - 1 \right) ^{6} \left( 2 x + 1 \right) ^{7}$의 전개식에서 $x ^{2}$의 계수는 $15 x ^{2} {\times} 1 + \left( - 6 x \right) \times 14 x + 1 \times 84 x ^{2}$ $= 15 x ^{2} - 84 x ^{2} + 84 x ^{2}$ $= 15 x ^{2}$ 이므로 $x ^{2}$의 계수는 $15$이다.