전개식의 계수

[출제의도] 이항정리를 이용하여 미지수의 값을 구할 수 있는가? $\displaystyle \left( x ^{2} - \frac{1}{x} \right) \left( x + \frac{a}{x ^{2}} \right) ^{4}$의 전개식에서 $x ^{3}$의 계수는 $\displaystyle \left( x ^{2} - \frac{1}{x} \right)$에서 $x ^{2}$의 계수 $1$과 $\displaystyle \left( x + \frac{a}{x ^{2}} \right) ^{4}$의 전개식에서 $x$의 계수를 곱한 것과 $\displaystyle \left( x ^{2} - \frac{1}{x} \right)$에서 $\displaystyle \frac{1}{x}$의 계수 $- 1$과 $\displaystyle \left( x + \frac{a}{x ^{2}} \right) ^{4}$의 전개식에서 $x ^{4}$의 계수를 곱한 것의 합과 같다. $\displaystyle \left( x + \frac{a}{x ^{2}} \right) ^{4}$의 전개식에서 일반항은 $\displaystyle {}_{4} {\mathrm{C}} _{r} x ^{4-r} \left( \frac{a}{x ^{2}} \right)$$= _{4} {\mathrm{C}} _{r} a ^{r} x ^{4-r-2r}$$= _{4} {\mathrm{C}} _{r} a ^{r} x ^{4-3r}$ $x$항은 $4 - 3 r = 1$ 즉, $r = 1$이므로 $x$의 계수는 ${}_{4} {\mathrm{C}} _{1} a ^{1} = 4 a$ $x ^{4}$항은 $4 - 3 r = 4$ 즉, $r = 0$이므로 $x ^{4}$의 계수는 ${}_{4} {\mathrm{C}} _{0} a ^{0} = 1$ 즉, $\displaystyle \left( x ^{2} - \frac{1}{x} \right) \left( x + \frac{a}{x ^{2}} \right) ^{4}$의 전개식에서 $x ^{3}$의 계수는 $1 \times 4 a + ( - 1 ) \times 1 = 4 a - 1$ 따라서 $4 a - 1 = 7$이므로 $a = 2$