전개식 계수 합

[출제의도] 이항정리를 이해하고 여러 가지 문제를 해결하기 [해설] $( 1 + x ) ^{3}$에서 $x ^{3}$의 계수는 $\mathrm{} _{3} C _{3}$ $( 1 + x ) ^{4}$에서 $x ^{3}$의 계수는 $\mathrm{} _{4} C _{3}$ $\vdots$ $( 1 + x ) ^{12}$에서 $x ^{3}$의 계수는 $\mathrm{} _{12} C _{3}$이므로 $x ^{3}$의 계수는 $\mathrm{} _{3} C _{3} + _{4} C _{3} + \cdots + _{12} C _{3}$ $\displaystyle = \frac{3 \times 2 \times 1}{6} + \frac{4 \times 3 \times 2}{6} + \cdots + \frac{12 \times 11 \times 10}{6}$ $\displaystyle = \frac{1}{6} \sum\limits _{k = 1} ^{10} k ( k + 1 ) ( k + 2 )$ $= 715$