확률과 통계확률의 뜻과 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

전등 오락기 확률

문제

오른쪽 그림은 어떤 오락기를 단순화하여 그린 것이다. 이 오락기는 입구에 공을 넣으면 A,B,C,D\mathrm{A} , B , C , D 중 어느 한 곳을 지나면서 그 위치의 꺼져 있는 전등은 켜지고, 켜져 있는 전등은 꺼지도록 되어 있다. 예를 들어 전구가 모두 꺼진 상태에서 공을 두 번 넣어 두 번 모두 A\mathrm{A}를 지나면 A\mathrm{A}위치의 전등은 켜졌다 꺼지고, 각각 A,B\mathrm{A} , B를 지나면 A,B\mathrm{A} , B 두 위치에 있는 전등은 모두 켜지게 된다. 이와 같이 공이 지날 때마다 전등이 켜지거나 꺼지기를 반복하다가 A,B,C,D\mathrm{A} , B , C , D 네 곳 모두 전등이 켜지면 게임은 끝난다. 여섯 번째 공을 넣었을 때 이 게임이 끝나게 될 확률을 ab\displaystyle \frac{a}{b} (a,ba , b는 서로소인 자연수)라고 하자. 이때, a+ba + b의 값을 구하시오. (단, 처음 상태는 전등이 모두 꺼져 있으며, 갈림길에서 양쪽 방향으로 공이 지나갈 확률은 서로 같다.) [4점]

정답 보기
35

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

투입된 공이 A,B,C,D\mathrm{A} , B , C , D에 도달할 확률은 각각 122\displaystyle \frac{1}{2 ^{2}}이다. 네 곳 모두 켜지려면 한 곳은 세 번, 세 곳은 각각 한 번씩 공이 도달해야 한다. 여섯 개의 공이 A\mathrm{A}에 세 개 B,C,D\mathrm{B} , C , D에 각각 한 개씩 도달하는 경우의 수는 A,A,A,B,C,D\mathrm{A} , A , A , B , C , D를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 6!3!\displaystyle \frac{6 !}{3 !}이고 이 중 네 개의 공이 A,B,C,D\mathrm{A} , B , C , D에 각각 한 개씩 도달하여 네 번째 공 만에 게임이 끝나는 경우인 4!4 !가지가 제외되어야 한다. B,C,D\mathrm{B} , C , D에 세 개의 공이 도달하는 경우도 마찬가지이므로 구하는 확률은 4(6!3!−4!)×(122)6=332\displaystyle 4 \left( \frac{6 !}{3 !} - 4 ! \right) \times \left( \frac{1}{2 ^{2}} \right) ^{6} = \frac{3}{32}

태그

#확률#같은 것이 있는 순열

비슷한 문제 더 보기

확률과 통계 문제 모음확률과 통계 확률의 뜻과 활용 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로