점의 이동과 거리 극한

[출제의도] 주어진 조건을 이용하여 수열의 극한을 구하는 문제를 해결한다.

$a _{3}$$\displaystyle = \sqrt{1 ^{2} + 1 ^{2}}$, $a _{4}$$\displaystyle = \sqrt{2 ^{2} + 1 ^{2}}$, $a _{5}$$\displaystyle = \sqrt{2 ^{2} + 2 ^{2}}$, $\cdots$, $a _{2 m - 1}$$\displaystyle = \sqrt{( m - 1 ) ^{2} + ( m - 1 ) ^{2}}$, $a _{2 m}$$\displaystyle = \sqrt{m ^{2} + ( m - 1 ) ^{2}}$ ⅰ) $n$$= 2 m - 1$($m$은 자연수)일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( a _{n + 1} - a _{n} \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{m \rightarrow \infty} {\left( a _{2 m} - a _{2 m - 1} \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{m \rightarrow \infty} {\left( \sqrt{2 m ^{2} - 2 m + 1} - \sqrt{2 ( m - 1 ) ^{2}} \right. )}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ⅱ) $n$$= 2 m$($m$은 자연수)일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( a _{n + 1} - a _{n} \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{m \rightarrow \infty} {\left( a _{2 m + 1} - a _{2 m} \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{m \rightarrow \infty} {\left( \sqrt{2 m ^{2}} - \sqrt{2 m ^{2} - 2 m + 1} \right)}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 따라서 ⅰ), ⅱ)에 의해 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( a _{n + 1} - a _{n} \right)}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2}$