공통수학2원의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

점 Q 존재 영역 넓이

문제

그림과 같이 두 점 A(−1,1)\mathrm{A} \mathit{(} - 1 , 1 ), B(−1,−1)\mathrm{B} \mathit{(} - 1 , - 1 )을 양 끝점으로 하는 선분 AB\mathrm{AB}와 중심이 C(1,0)\mathrm{C} ( 1 , 0 )이고 반지름의 길이가 11인 원 C\mathrm{C}가 있다. 점 P(a,b){\mathrm{P}} ( a , b )는 선분 AB\mathrm{AB} 위를 움직이고, 점 Q(c,d){\mathrm{Q}} ( c , d )는 ba⋅dc=−1\displaystyle \frac{b}{a} \cdot \frac{d}{c} = - 1을 만족하면서 원 C\mathrm{C}의 내부를 움직인다. 이때, 점 Q\mathrm{Q}가 존재하는 영역의 넓이는? [4점]

①π−22\displaystyle \frac{\pi - 2}{2}②π−2\pi - 2③π−1\pi - 1④π−12\displaystyle \frac{\pi - 1}{2}⑤π2\displaystyle \frac{\pi}{2}

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①

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해설

[출제의도] 직선의 기울기를 이용하여 조건을 만족하는 영역의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. ba\displaystyle \frac{b}{a}는 직선 OP\mathrm{OP}의 기울기이고, dc\displaystyle \frac{d}{c}는 직선 OQ\mathrm{OQ}의 기울기이다. ba⋅dc=−1\displaystyle \frac{b}{a} \cdot \frac{d}{c} = - 1이므로 직선 OP\mathrm{OP}와 직선 OQ\mathrm{OQ}는 서로 수직으로 만난다. 선분 AB\mathrm{AB}를 따라 점 P\mathrm{P}를 움직이면서 선분 OQ\mathrm{OQ}를 선분 OP\mathrm{OP}에 수직이 되게 그려 보면 점 Q\mathrm{Q}가 존재하는 영역은 그림의 어두운 부분과 같다.

따라서 구하는 넓이는 π2−12×2×1=π−22\displaystyle \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = \frac{\pi - 2}{2} 이다.

태그

#부등식의 영역#수직 조건

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