점 이동 조건부확률

시행을 $7$번 반복할 때 $a _{1} = 0$이고 $a _{7} = 1$인 사건을 $X$, 집합 $\left\{ a _{m} \left| m \right. \right.$은 $7$ 이하의 자연수$\left. \right\}$의 원소 중 가장 큰 값이 $2$인 사건을 $Y$라 하자. $k$가 $1$일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{6}$, $k$가 $2$일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{6}$, $k$가 $3$ 이상일 확률은 $\displaystyle \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$이므로 (ⅰ) $7$번 시행 후 $a _{1} = 0$이고 $a _{7} = 1$인 경우는 ① $1$의 눈이 $1$번, $3$ 이상의 눈이 $6$번 나오는 경우 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{2}{3} \times \left\{ 6 \times \left( \frac{1}{6} \right) ^{1} \times \left( \frac{2}{3} \right) ^{5} \right\} = \left( \frac{2}{3} \right) ^{6}$ ② $1$의 눈이 $2$번, $2$의 눈이 $1$번, $3$ 이상의 눈이 $4$번 나오는 경우 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{2}{3} \times \left\{ \frac{6 !}{2 ! \times 3 !} \times \left( \frac{1}{6} \right) ^{2} \times \left( \frac{1}{6} \right) ^{1} \times \left( \frac{2}{3} \right) ^{3} \right\}$$\displaystyle = 40 \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{6}$ ③ $1$의 눈이 $3$번, $2$의 눈이 $2$번, $3$ 이상의 눈이 $2$번 나오는 경우 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{2}{3} \times \left\{ \frac{6 !}{3 ! \times 2 !} \times \left( \frac{1}{6} \right) ^{3} \times \left( \frac{1}{6} \right) ^{2} \times \left( \frac{2}{3} \right) ^{1} \right\}$$\displaystyle = 5 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{1} \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{6}$ ①, ②, ③에 의하여 ${\mathrm{P}} \left( X \right)$$\displaystyle = \left( 128 + 80 + 5 \right) \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{1} \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{6}$$\displaystyle = 71 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{1} \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{5}$ (ⅱ) $7$번 시행 후 $a _{1}$$= 0$이고 $a _{7} = 1$이므로 집합 $\left\{ a _{m} \left| m \right. \right.$은 $7$ 이하의 자연수$\left. \right\}$의 원소 중 가장 큰 값이 $2$인 경우는 ① $1$의 눈이 $1$번, $3$ 이상의 눈이 $6$번 나오는 경우 집합의 원소의 가장 큰 값이 $1$이므로 구하는 확률은 $0$ ② $1$의 눈이 $2$번, $2$의 눈이 $1$번, $3$ 이상의 눈이 $4$번 나오는 경우 첫 번째 시행에서 $3$ 이상의 눈이 나오고 $1$의 눈이 $2$번 모두 $2$의 눈보다 먼저 나와야 하므로 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{2}{3} \times \left\{ \frac{6 !}{3 ! \times 3 !} \times \left( \frac{1}{6} \right) ^{2} \times \left( \frac{1}{6} \right) ^{1} \times \left( \frac{2}{3} \right) ^{3} \right\}$$\displaystyle = 40 \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{7}$ ③ $1$의 눈이 $3$번, $2$의 눈이 $2$번, $3$ 이상의 눈이 $2$번 나오는 경우 첫 번째 시행에서 $3$ 이상의 눈이 나오고 $1$의 눈과 $2$의 눈은 $1$, $1$, $2$, $1$, $2$ 또는 $1$, $1$, $2$, $2$, $1$ 또는 $1$, $2$, $1$, $1$, $2$ 또는 $2$, $1$, $1$, $1$, $2$ 의 순서로 나와야 하고 각각에 대하여 $3$ 이상의 눈이 $1$번 나와야 하므로 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{2}{3} \times \left\{ 4 \times 6 \times \left( \frac{1}{6} \right) ^{3} \times \left( \frac{1}{6} \right) ^{2} \times \left( \frac{2}{3} \right) ^{1} \right\}$$\displaystyle = \left( \frac{1}{3} \right) ^{6}$ ①, ②, ③에 의하여 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( X \cap Y \right) = 43 \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{7}$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 ${\mathrm{P}} \left( Y \left| X \right) \right.$$\displaystyle = \frac{{\mathrm{P}} \left( X \cap Y \right)}{{\mathrm{P}} \left( X \right)}$$\displaystyle = \frac{43 \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{7}}{71 \times \left( \frac{1}{2} \right) ^{1} \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{5}} = \frac{86}{639}$ $p = 639$, $q = 86$ 따라서 $p + q = 725$