제곱수 나머지 보기

[출제의도] 약수와 배수의 성질 이해하기 ㄱ. $a ^{2}$을 $4$로 나누면 나머지는 $0$ 또는 $1$이다. (참) 임의의 자연수 $a$는 $4 k , 4 k + 1 , 4 k + 2 , 4 k + 3$으로 나타낼 수 있고, $\left( 4 k \right) ^{2} = 4 \left( 4 k ^{2} \right)$이므로 $4$로 나누면 나머지가 $0$ $\left( 4 k + 1 \right) ^{2} = 16 k ^{2} + 8 k + 1 = 4 \left( 4 k ^{2} + 2 k \right) + 1$이므로 $4$로 나누면 나머지가 $1$ $\left( 4 k + 2 \right) ^{2} = 16 k ^{2} + 16 k + 4 = 4 \left( 4 k ^{2} + 4 k + 1 \right)$이므로 $4$로 나누면 나머지가 $0$ $\left( 4 k + 3 \right) ^{2} = 16 k ^{2} + 24 k + 9 = 4 \left( 4 k ^{2} + 6 k + 2 \right) + 1$이므로 $4$로 나누면 나머지가 $1$ ㄴ. $a ^{2} + b ^{2}$이 $4$의 배수이면 $a , b$는 모두 $4$의 배수이다. (거짓) (반례) $a = 2 , b = 2$일 때, $a ^{2} + b ^{2}$은 $4$의 배수이지만 $a , b$는 모두 $4$의 배수가 아니다. ㄷ. $a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}$이 $4$의 배수가 아니면 $a , b , c$중 적어도 하나는 $4$의 배수가 아니다. (참) ㄱ에 의하면 $a ^{2}$을 $4$로 나누면 나머지는 $0$ 또는 $1$이므로 $a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}$이 $4$의 배수가 아니면 $a ^{2} , b ^{2} , c ^{2}$중 나머지가 $1$인 수가 적어도 하나 존재한다. 즉, $a , b , c$ 중 적어도 하나는 $4$의 배수가 아니다.