제곱근이 자연수

[출제의도] 제곱근의 성질을 이용하여 조건을 만족시키는 값을 구한다. $\displaystyle \sqrt{\frac{288}{n}}$$\displaystyle = \sqrt{\frac{2 ^{5} \times 3 ^{2}}{n}}$이 $1$보다 큰 자연수가 되도록 하려면 $\displaystyle {\frac{2 ^{5} \times 3 ^{2}}{n}}$이 어떤 자연수의 제곱이어야 한다. 따라서 $n$은 $2 ^{5} \times 3 ^{2}$의 약수이고, $n$의 값이 최대가 되려면 $\displaystyle {\frac{2 ^{5} \times 3 ^{2}}{n}}$이 어떤 자연수의 제곱인 수 중에서 최소가 되어야 한다. $2 ^{5} \times 3 ^{2}$의 약수 중에서 $1$이 아닌 가장 작은 제곱인 수는 $2 ^{2}$이므로 $\displaystyle {\frac{2 ^{5} \times 3 ^{2}}{n}}$$= 2 ^{2}$ 따라서 구하는 ${n}$의 값은 $n$$= 2 ^{3} \times 3 ^{2}$$= 72$