제곱근 소수부분 극한

임의의 자연수 $n$에 대하여 $( n + 1 ) ^{2} < n ^{2} + 3 n < ( n + 2 ) ^{2}$이 성립하므로 $\displaystyle \sqrt{n ^{2} + 3 n}$의 정수부분은 $n + 1$이다. 그러므로 소수 부분 $a _{n}$은 $\displaystyle a _{n} = \sqrt{n ^{2} + 3 n} - ( n + 1 )$ 따라서, 구하는 값은 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{10}{a _{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{10}{\sqrt{n ^{2} + 3 n} - ( n + 1 )}$ $\displaystyle = \frac{\lim\limits _{n\rightarrow \in {{10} {\left\{ \sqrt{n ^{2} + 3 n} + ( n + 1 ) \right.}}}}{n ^{2} + 3 n - ( n ^{2} + 2 n + 1 )}$$\displaystyle = \frac{\lim\limits _{n\rightarrow \infty {{{10} \left\{ \sqrt{n ^{2} + 3 n} + ( n + 1 ) \right.}}}}{n - 1}$ $= 20$