자연수의 분할

ㄱ. (i)$n$이 짝수일 때 $n = 2 k ( k = 1 , 2 , 3 , \cdots )$라 하면 $n = ( 2 k - 1 ) + 1 = ( 2 k - 2 ) + 2$ $= \cdots = ( 2 k - k ) + k$ $\displaystyle \therefore P ( n ) = k = \left[ \frac{n}{2} \right]$ (ii)$n$이 홀수일 때 $n = 2 k - 1 ( k = 1 , 2 , 3 , \cdots )$이라 하면 $n = ( 2 k - 2 ) + 1 = ( 2 k - 3 ) + 2$ $= \cdots = ( 2 k - k ) + ( k - 1 )$ $\displaystyle \therefore P ( n ) = k - 1 = \left[ \frac{n}{2} \right]$ (i), (ii)에서 $\displaystyle P ( n ) = \left[ \frac{n}{2} \right]$ ( ∴ 참 ) ㄴ. $m = 3 , n = 5$라 하면 $m + n = 8$이고 $\displaystyle P ( 3 ) = \left[ \frac{3}{2} \right] = 1$,$\displaystyle P ( 5 ) = \left[ \frac{5}{2} \right] = 2$, $\displaystyle P ( 8 ) = \left[ \frac{8}{2} \right] = 4$ 이므로 $P ( 3 + 5 ) \neq P ( 3 ) + P ( 5 )$ 따라서 $P ( m + n ) \neq P ( m ) + P ( n )$(거짓) ㄷ. $n = 3$일 때 $\displaystyle P ( 3 ^{2} ) = P ( 9 ) = \left[ \frac{9}{2} \right] = 4$ $\left\{ P ( 3 ) \right\} ^{2} = 1$ $P ( 3 ^{2} ) \neq \left\{ P ( 3 ) \right\} ^{2}$ 따라서 $P ( n ^{2} ) \neq \left\{ P ( n ) \right\} ^{2}$(거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.