자연수 해 개수

$x = x' + 1$, $y = y' + 1$, $z = z' + 1$, $w = w' + 1$로 놓으면 방정식 $x + y + z + w = 11$을 만족시키는 자연수 $x , y , z , w$의 모든 순서쌍 $( x , y , z , w )$의 개수는 방정식 $x' + y' + z' + w' = 7$의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다. 방정식 $x' + y' + z' + w' = 7$의 음이 아닌 정수해의 개수는 서로 다른 $4$개의 문자 $x' , y' , z' , w'$ 중에서 $7$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ${} _{4} \mathrm{H} _{7} = _{4 + 7 - 1} C _{7} = _{10} C _{7} = 120$