자릿수 합 중복조합

[출제의도] 중복조합을 이용하여 자연수의 개수를 구할 수 있는가? 주어진 조건을 만족시키는 자연수의 개수는 방정식 $a + b + c + d = 7$을 만족시키는 자연수 $a , b , c , d$의 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$의 개수와 같다. 이 때, $a = a' + 1$, $b = b' + 1$, $c = c' + 1$, $d = d' + 1$이라 하면 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$의 개수는 방정식 $a' + 1 + b' + 1 + c' + 1 + d' + 1 = 7$ 즉, $a' + b' + c' + d' = 3$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a' , b' , c' , d'$의 순서쌍 $\left( a' , b' , c' , d' \right)$의 개수와 같다. 따라서 구하는 자연수의 개수는 ${} _{4} \mathrm{H} \mathrm{_{3}} = _{6} \mathrm{C} \mathrm{_{3}}$$\displaystyle = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$