자릿수 합 9

네 자리 자연수의 각 자리의 숫자를 천의 자리부터 차례로 $a$, $b$, $c$, $d$라 하면 구하는 자연수의 개수는 $a + b + c + d = 9$이고 $a \ne 0$을 만족시키는 음이 아닌 정수의 순서쌍 $( a , b , c , d )$의 개수와 같다. $a + b + c + d = 9$를 만족시키는 순서쌍의 개수는 $\displaystyle {}_{4} \mathrm{H} _{9} = _{12} \mathrm{C} _{9} = _{12} \mathrm{C} _{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220$이다. 이중 $a = 0$인 순서쌍의 개수는 $b + c + d = 9$를 만족시키는 순서쌍의 개수와 같으므로 $\displaystyle {}_{3} \mathrm{H} _{9} = _{11} \mathrm{C} _{9} = _{11} \mathrm{C} _{2} = \frac{11 \cdot 10}{2 \cdot 1} = 55$이다. 따라서 구하는 자연수의 개수는 $220 - 55 = 165$이다.